九年级数学下册--中考数学压轴题中取值范围的计算专题(含解析)

中考数学压轴题中取值范围的计算（1）、二次函数中根据自变量的取值范围求因变量的取值范围；构造二次函数或距离公式。（2）、构造三角形，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。（对称、旋转、相似变换）（3）、构造圆，根据圆的一些性质，结合题目中的定角，进行联想，作出合适的圆，通过圆来进行讨论。一、根据题目中的条件，构造一次函数、二次函数、反比例函数、距离公式，由自变量来求因变量的范围。1、（福州）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）．（1）当h=1，k=2时，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=tx2（t≠0）也经过A点，求a与t之间的关系式；（3）当点A在抛物线y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1时，求a的取值范围．2、（宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．二、构造三角形。当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题。可以通过对称、旋转、相似等几何变换来构造。1、已知：在△ABC中，∠BAC=60°．（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．①依题意补全图1；②直接写出PB的长；（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；（3）如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=，PB=5，∠APC=120°，直接写出PC的长．2、已知二次函数y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）.（1）试说明：抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴必有交点；（2）若此抛物线与y轴交于点B，与x轴的一个交点坐标为A(5，0)，求a的值和抛物线的解析式；（3）在(2)的条件下，过x轴上的一动点C(m，0)(0＜m＜5)作x轴的垂线交直线AB于点E，交抛物线于点D．①如图24-1，当点D位于抛物线的最高点时，求m的值和E点的坐标；②如图24-2，将线段OC绕点O逆时针旋转得到OM，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接MA、MB，求MA＋23MB的最小值．三、圆自身有一些比较特别的性质，比如直径所对的圆周角总是等于90度、圆中弦在同侧形成的圆周角总是相等得。我们可以根据圆的这些性质进行逆向运用，就可以在一个圆中去探究问题。1、如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC＝90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．2、（徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．答案：一、1、【分析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=﹣，b=﹣2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=tx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据条件列出关于a的不等式即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为A（1，2），设抛物线为y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线经过原点，∴0=a（0﹣1）2+2，∴a=﹣2，∴抛物线解析式为y=﹣2x2+4x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=﹣，∴b=﹣2ah，∴y=ax2﹣2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=ah2﹣2ah2=﹣ah2，抛物线y=tx2也经过A（h，k），∴k=th2，∴th2=ah2﹣2ah2，∴t=﹣a，（3）∵点A在抛物线y=x2﹣x上，∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，∴h=，∵﹣2≤h＜1，∴﹣2≤＜1，①当1+a＞0时，即a＞﹣1时，，解得a＞0，②当1+a＜0时，即a＜﹣1时，解得a≤﹣，综上所述，a的取值范围a＞0或a≤﹣．2、【分析】（1）根据二次函数N的图象是由二次函数M翻折、平移得到所以a=﹣1，求出二次函数N的顶点坐标即可解决问题．（2）由PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2•PO2+2可知OP最大时，PA2+PB2最大，求出OP的最大值即可解决问题．（3）画出函数图象即可解决问题．【解答】（1）解：二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x2+1，此时顶点坐标（0，1），将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为（2，9），故N的函数表达式y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．（2）∵A（﹣1，0），B（1，0），∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2•PO2+2，∴当PO最大时PA2+PB2最大．如图，延长OC与⊙O交于点P，此时OP最大，∴OP的最大值=OC+PC=+1，∴PA2+PB2最大值=2（+1）2+2=38+4．（3）M与N所围成封闭图形如图所示，由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个．二、1、（1）、易得三角形ADP是等边三角形，DP=3,角ADP=60度。在三角形BDP中，BD=PC=4,DP=3,角BDP=150度-60度=90度易得BP=5（2）、将三角形ABP绕着点A逆时针旋转60度，P点的对应点为E点，得到三角形ACE.在三角形ECP中，三边构成勾股数，得角EPC=90度，易得角APC=90度-60度=30度。（3）、这一问是作辅助线，旋转加相似。将三角形APC绕着A点顺时针旋转60度，然后以A点为中心，作同方向的位似三角形。P点的对应点为F.易得三角形AFB与三角形APC相似。三角形AFB为直角三角形，角AFB=30度。三角形BPF为直角三角形，BF=4.易得PC=22、（1）0334322aaa（2）易得351253,532xxya（3）易得m=2,)59,3(E（4）在OB上取一点n,是三角形OMB相似于三角形ONM，易得34232,32ONBMNM在三角形AMN中，易得32413453222MABM三、1、（1）易得三角形AEC相似于三角形ADB，即EC=BD(2)由角ACE=角ABD可得，角BPC恒等于90度，当三角形ADE逆时针旋转时，有面积法可得5565212BP由对称可得：5525562222BP(3)、由角BPC恒等于90度，可将P看作以BC为直径，圆上的一点。通过分析可得，角BCP越小，BP越小。又因为角ABC=90度，即角ACP越大，因为AC=2.AE=1,得角ACP最大为30度，得BP最小时，角CBP=75度，在一个角为75度的直角三角形中，做辅助线可得：1313132223222BPBPxxxx由对称可得：2、【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，∵y=x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∴PH=PB，∴PB+OD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值为．故答案为．（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．②如图，RT△AOB中，∵tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB==，∴OE=OB﹣EB=，∵F（，t），EF2=EB2，∴（）2+（t+）2=（）2，解得t=或，故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤