专题1--一次函数与反比例函数问题

方法指导专题2一次函数与反比例函数问题真题回顾试题分析满分解答变式训练1.一次函数的图象和性质：一次函数的一般形式是，图象是经过和两点的一条直线.的图象与性质：k、b的符号k＞0b＞0k＞0b＜0k＜0b＞0k＜0b＜0图像的大致位置经过象限第一、二、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、三、四象限性质y随x的增大而增大y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而减小一次函数2、反比例函数的图象和性质：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．的符号＞0＜0图像的大致位置经过象限第一、三象限第二、四象限性质在每一象限内y随x的增大而减小在每一象限内y随x的增大而增大3、反比例函数的几何含义：反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数.同时要注意它的演变情况kkxkxk1、函数的图象过____________象限，y随x的增大而_____________。2、函数的图象在二、四象限，则m______________。3、已知反比例函数的图象经过点A（1，2）,则其解析式是_______。5yx一、三增大2myx24、已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图，则m_____，n_____。5、函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（）ymxnyx00(0)kykxykxkCOxyoyxxyooxyyoxABCD相同点k0时，过_________象限；k0时，过_________象限。不同点①x的取值范围_______；②图象是______③k0时，y随的x增大而___（在每个象限内）k0时，y随的x增大而___（在每个象限内）①x的取值范围_______；②图象是_______；③k0时，y随的x增大而____k0时，y随的x增大而____kyxykxb一、三二、四x≠0直线任意实数双曲线减小减小增大增大知识考点•对应精练【知识考点】（1）正比例函数与反比例函数图象交点的对称性（2）一次函数与反比例函数图象的特点（3）一次函数与反比例函数图像交点问题及不等式（4）一次函数、反比例函数的图象与几何综合题题组一函数图象的对称性A．(1，2)B．(－2，1)C．(－1，－2)D．(－2，－1)D【例1】如图所示，正比例函数y＝k1x与反比例函数y=的图象相交于点A、B两点，若点A的坐标为(2，1)，则点B的坐标是()解析：由题意可知：A与B关于原点对称，所以B(－2，－1)．答案：－10.小结1：看到正比例函数与反比例函数图像交点，想到____________两交点关于原点对称【变式训练1】正比例函数y＝4x和反比例函数y=的图象相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，求8x1y2－3x2y1的值．题组二函数图象的共存【例2】当a≠0时，函数y＝-ax＋1与函数y＝ax在同一坐标系中的图象可能是图中的()B【变式训练2】函数y＝ax－a与y＝ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是图中的()D小结2：看到一次函数与反比例函数图像的共存，想到函数图像特点。近年真题近年真题题组三交点问题与不等式A．0＜x＜2B．x＞2C．x＞2或－2＜x＜0D．x＜－2或0＜x＜2【例3】如图所示，反比例函数y1＝k1x的图象与正比例函数y2＝k2x的图象交于点(2，1)，则使y1＞y2的x的取值范围是()D(-2，-1)【变式训练3】如图，正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，的取值范围是（）A．B．C．D．xky11xky2221yy＞x22＞或＜xx202＜＜或＜xx2002＜＜或＜＜xx202＞或＜＜xxD小结3：看到两函数交点求不等式，想到观察图像特点。近年真题近年真题近年真题近年真题题组四一次函数、反比例函数的图象与几何综合题【例4】如图一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集．解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1∴B（﹣2，0），OA=1，∴A（0，﹣1）∴∴∴y=﹣x﹣1又∵OD=4，OD⊥x轴，∴C（﹣4，y），将x=﹣4代入y=﹣x﹣1得y=1，∴C（﹣4，1）∴1=，∴m=﹣4，∴y=﹣（2）当x＜0时，kx+b﹣＞0的解集是x＜﹣4．【变式训练4】一次函数y=kx+b与反比例函数y=图象相交于A（-1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D。（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S。mxmxmxmxmxmxxyAEDOBCmxmxmxmxmx近年真题近年真题近年真题近年真题近年真题小结4：看到求函数的关系式，想到；看到交点坐标，想到看到面积，想到利用待定系数法是两个函数关系式组成方程组的解；三角形面积公式，不规则图形的面积要转化为和它有关的规则图形的面积来求解.三讲方法——方法点睛1.判断实际问题函数图象的方法：一找起点，二找特殊点，三判断函数图象的变化趋势.分析函数图象的交点和转折点，说明函数在此点将发生变化，根据函数图象的变化趋势来判断函数的增减性.2.一次函数、反比例函数解析式的求法：在一次函数与反比例函数相交求函数解析式的过程中，通常把交点坐标代入其中一个函数解析式，求得一个字母的值，在利用待定系数法求出另一个函数的解析式.3.求一次函数和反比例函数的交点：当一次函数与反比例函数有交点时，通常利用方程思想，联立两个函数解析式，消去y，构造一个关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的解法求得x的值，进而得到交点坐标（x，y）.4.利用一次函数解决实际问题的一般步骤：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过待定系数法列方程组求出一次函数的解析式；（3）利用一元一次不等式（组）确定自变量的取值范围；（4）利用一次函数的增减性求得实际问题5.反比例函数的实际应用(1)反比例函数的图像反映变化规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案(2)列出函数关系式后，注意自变量的取值范围(3)注意函数思想、方程思想和不等式思想方法的应用1.已知k10k2，则函数y＝k1x－1和y＝k2x的图象大致是图中的（）A2．如图所示，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＋b＜的解集是()A.x1或x5B.1x5C.x5或x0D.x03.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2-x1)(y2-y1)的值为________.B6yx6yx11()Axy，2121()()xxyy244.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求△OCD的面积．6.解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO===∴OA=2，CE=3．∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）．设直线AB的解析式为y=kx+b，则解得．故直线AB的解析式为y=﹣x+2．设反比例函数的解析式为y=（m≠0），将点C的坐标代入，得3=，∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣．（2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得，可得交点D的坐标为（6，﹣1），则△BOD的面积=4×1÷2=2，△BOD的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8．A．2B．4C．6D．84．如图所示，函数y＝－x与函数y＝－4x的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D.则四边形ACBD的面积为()DA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．设点A(x1，y1)和B(x2，y2)是反比例函数y＝kx图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y＝－2x＋k的图象不经过的象限是()A方法指导解决一次函数与反比例函数相结合的问题时，关键是要熟练掌握用待定系数法求函数表达式，知道函数图象上的点一定满足函数表达式，能正确求解所列的方程或方程组，会求函数图象与坐标轴的交点坐标，善于通过图象观察出对应的点的横坐标和纵坐标的特点.这类题是中考的热点问题，要重点把握.真题回顾例（2015•广东）如图-1，反比例函数y=k/x（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数的图象于点D，且AB=3BD.（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点的距离之和d=MC+MD，最小求点M的坐标.本题以一次函数与反比例函数的图象交点问题为背景，考查学生利用轴对称求最短路线问题，具体分析如下：（1）根据点A的坐标以及AB=3BD先求出点D的坐标，再代入反比例函数表达式即可求出k的值；（2）点C是直线与反比例函数图象的交点，由直线与反比例函数的表达式联立方程组即可求出点C的坐标；（3）作点D关于y轴的对称点E，连接CE交y轴于点M，则d=MC+MD最小.得到E（-1，1），求得直线CE的表达式为y=（2√3-3）x+2√3-2，其与y轴的交点即为所求.试题分析满分解答变式训练1.（2015•珠海）如图-3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，函数y=k/x的图象过点P（4，3）和矩形的顶点B（m，n）（0＜m＜4）.（1）求k的值；（2）连接PA，PB，若△ABP的面积为6，求直线BP的表达式.2.（2015•佛山）若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=k2/x的图象有一个交点的坐标是（-2，4）.（1）求这两个函数的表达式；（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标.3.如图-4，已知A（n，-2），B（1，4）是一次函数y1=kx+b的图象和反比例函数y2=m/x的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若y1＞y2，求x的取值范围（直接写出答案）.A．1个B．2个C．3个D．4个