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岩石力学反问题吕爱钟第一章绪论第一节反问题一、反问题的内容及特点固体力学的正问题是指在物体的几何形状、材料性质及外荷载已知的情形下，求其物体内部的应力分布与变形规律。而相应的反问题是指正问题中的某些待求量通过实地量测或人为指定变为已知量，而某些已知量作为待求量。近几年固体力学所关心的反问题有孔形优化问题，即已知材料性质及外荷载，如何设计孔洞的形状，使孔洞周边或孔外域的二次应力场(或位移场)满足预先指定的要求。孔形优化问题也是岩石力学工作者所关心的一类反问题，它可以指导我们如何开挖巷道，使巷道在有一定工作空间的要求下处于最佳的受力状态，以利于巷道的维护。矿山岩石力学所关心的第二类反问题是：已知巷道的开挖形状，根据实地量测的变形规律(位移场)，求其描述这个系统的最佳模型及模型参数(岩石的性质参数)或原始地应力场，这类反问题称为位移反分析。在数学中我们早就接触过反问题，例如，在初等代数学中已知方程求根若称为正问题的话，那么由根求方程的系数就是代数方程的反问题；在矩阵论中，由矩阵求特征值也对应着它的反问题——已知特征值反求矩阵。由“结果”推断“原因”的反问题在人类认识自然与改造自然中起到了重要的作用，例如，遥测与遥感技术是通过接收回波(反射波)信息去判断人们感兴趣的物体的形状，地球物理勘探中的反问题就是借助于地球表面接收到的主动场或被动场的数据，经过处理判断地层的结构。应用反问题思想解决实际问题的例子比比皆是，例如：（1）各类案件的侦破（2）建筑质量的判断（3）各类设备故障原因的调查与确定（4）各类事故的调查与责任的判定（5）考古研究（6）内科大夫看病以往在矿山岩石力学中实际上也求解了一些反问题，例如，利用应力解除法求原始地应力，就是通过量测应变或位移反求荷载，平板试验就是利用量测位移反求岩体性质参数，所采用的求解方法都为逆法，只是未被普遍认识。由“结果”推断的“原因”可能解不唯一(多解性)，即某一特定“结果”可能引起的“原因”有多种，这是反问题的一类不适定性，反问题还可能具有解的不存在性和解的不稳定性这些特点，如果反问题的提法不正确，可能会导致反问题的解不存在，反问题的不稳定性是指实测资料有一定的微小误差时，反求出的结果产生很大偏差，甚至无法控制。如果反问题的解存在，唯一且稳定，则我们称反问题为适定的。不适定问题的解法研究已成为计算数学中心问题之一，在这一领域中理论上作出重要贡献的是原苏联学者古洪诺夫，1974年他出版了“不适定问题的解法”一书，这是有关这方面的第一本专著，美国、中国相继翻译成英文、中文出版。二、研究岩石力学反问题的意义巷道形状优化设计(孔形优化)是一项很有实际意义的工作，它可以指导我们如何设计巷道断面使巷道在有一定工作空间的要求下，处于容易维护的状态，达到既安全又经济的目的。孔形优化是在岩石性质参数及原始地应力已知的条件下进行的，岩石的性质参数及地应力的确定是解决岩石力学问题的关键所在，岩石力学工作者多年来一直在专门研究这个问题，但效果并不理想。岩石性质参数的确定一般都是在实验室或现场试件进行的，试件尺寸与巷道尺寸比较仍然太小，试件不能反映实际岩体的结构，试件的受力状态与巷道的实际受力状态相差很大，这样根据试件确定的岩石性质参数对于解决实际的岩石力学问题，其结果相差很大。计算结果与实际量测结果相差很大的原因并非完全是由以上原因引起的，通常的原始地应力测定可靠性较差或者是选择的力学模型不正确都可以造成很大的误差。以往求解岩石力学问题的主要特点是把力学模型的选择、岩石性质参数及地应力的确定三个过程单独进行的。现在，有了位移反分析我们可以直接利用实地量测的变形规律，根据选择的力学模型同时求出岩石性质参数及原始地应力。实地量测就是一个最反映实际情况的现场试验，究竟采用何种力学模型这不能凭空事先决定，而必须由实地量测的变形规律在已知的一组模型里求出与实际变形规律最接近的最佳模型，这就是模型鉴别的内容。求出了模型(包括参数)和原始地应力，我们再按正问题去计算，预测以后开挖所表现的各种力学行为。确定支护结构上的荷载，这是地下结构设计与地面结构设计的最大不同点，对于地面结构所承受的荷载较易确定，而地下支护结构所承受的荷载是不能事先知道的，结构承受的荷载取决于结构与岩体的相互作用，它的大小及分布规律与岩体性质、原始地应力场、支护刚度及支护时间等多种因素有关，分析结构与岩体的相互作用，要利用岩体和结构的力学模型，但由于目前岩体力学模型的研究尚未成熟，故根据相互作用从理论上精确给出结构上的荷载是困难的。现在有了位移反分析，我们可以在可靠性较高的结构模型的基础上，利用结构上的位移量测值反求结构上的荷载，当结构的力学模型正确时，反算的荷载是可信的。长期以来，地下结构的荷载缺乏合适的确定方法，设计主要依靠经验类比，从而往往导致安全储备不足而破坏或者安全储备过大而严重浪费。目前，位移反分析已广泛应用于岩体的力学性质参数及原始地应力的辨识。当然，利用位移反分析也可以辨根据岩石力学的发展水平，地下结构上荷载的确定第一阶段(上世纪末和本世纪前半叶)，沿用地面结构的特点，地下结构被看作仅是承受荷载的结构，荷载大小(为了区别，这里的荷载称为主动荷载)是根据当时的地压假说来确定。假定地下结构本身对作用在其上的荷载大小和分布不产生影响，在地压计算中不考虑地下结构的变形，即不考虑围岩抗力(围岩抗力称为被动荷载)。比较有影响的地压假说是冒落拱假说和压力拱假说。第二阶段(自本世纪30年代起)，与第一阶段不同的是考虑在主动荷载作用下地下结构的变形，其特点是作用在地下结构上的荷载由主动荷载和被动荷载组成。主动荷载仍根据地压假说确定；被动荷载是根据围岩限制地下结构在主动荷载作用下产生的变形而引起的抗力来确定。围岩抗力通常根据熟知的文克尔(E.Winkler)假设(围岩的弹性抗力与结构变位成正比)计算。第三阶段(现代阶段)，不再区分主动荷载和被动荷载，地下结构的荷载根据围岩支架共同作用原理来确定。即，给定支架、围岩的力学模型，通过计算围岩对支架的作用力来确定地下结构受到的荷载。常用的力学模型有弹性模型、弹塑性模型及粘、弹塑性模型等。从理论上讲，根据支架围岩共同作用原理确定地下结构的荷载是完善的。这样获得的荷载能够综合反映岩体性质、原始地应力、地下结构的性质及开挖与支护间隔时间等多种因素的影响，不仅能够得到地下结构的法向荷载而且能够得到其切向荷载，克服了直接按主动荷载和被动荷载确定地下结构荷载的不足。但是，由于岩体是地质介质，其力学性质具有非均质、各向异性、流变性质等特性，更重要的是岩体是裂隙体，即岩体中含有断层、节理、裂隙等不连续面，因此，至今未能建立起符合实际情况的力学模型，故此，难以根据围岩支架共同作用原理有效地确定地下结构的荷载。此外，人们曾通过在衬砌与围岩之间埋设测压元件直接量测地下结构的荷载。由于测压元件的刚度与围岩的刚度不匹配，测压元件的存在扰动了地下结构上的荷载分布，因此，通过测压元件量测得到的地下结构荷载不可靠，而且该方法不能量测地下结构的切向荷载，此外该法费用较高。上述确定地下结构荷载的三个阶段都是沿用地面结构设计的思路——先确定荷载，再进行结构设计、计算。地下工程的特点是应先求反问题再求正问题。这里的反问题指，通过量测受载后支架上某些点间的相对位移，反算支架的荷载。第二节系统辨识和参数辨识如果把所讨论的对象作为一个系统的话，则正问题是指已知描述系统的模型及输入，求输出，如图1.1所示，在这种情况下，不但模型结构是已知的，而且所有有关的参数也是已知的。而反问题是指通过量测输出，来求系统的模型或模型参数，有些情况下，当模型和模型参数已知时，反问题是指由输出求输入。按对系统的了解程度，反问题可分为系统辨识和参数辨识两类。一、系统辨识系统辨识是通过量测得到系统的输出和输入数据来确定描述这个系统的数学方程，即模型结构。为了得到这个模型，我们可以用各种输入来试探该系统并观测其响应(输出)，然后将输入——输出数据进行处理来得到模型。近年来，系统辨识的应用领域日益扩大，在通信工程、航空航天工程、地质学、经济学、生物学、医学等方面都得到应用，各个领域都在利用系统辨识方法建立各自系统的定量模型，从而由定性到定量地解决实际问题，另一方面，也由于现代计算工具发展，使许多问题可以通过计算机加以解决，这又推动了系统辨识的发展。基于对系统先验信息的了解程度，我们可以把系统辨识问题分为两类：“黑箱问题”：也叫完全辨识问题，在这种情况下，被辨识的系统的基本特性是完全未知的。例如，系统是线性的还是非线性的，是动态的还是静态的，对这些基本的信息都一无所知，要辨识这类系统当然是很困难的，目前尚无有效的办法。“灰箱问题”又叫不完全辨识问题，在这一类问题中，系统的某些基本特性(例如线性)为已知的，不能确切知道的只是系统方程的阶次和系数。当然，这类问题比“黑箱问题”容易处理。幸好，许多工程上的辨识问题属于“灰箱问题”，这样，系统辨识问题就简化为模型鉴别和参数辨识问题了，参数辨识是系统辨识中最重要也是研究得最成熟的部分。二、参数辨识参数辨识是近几年发展较快的年轻学科，在各个领域都引起了重视，它的名字还没有完全统一起来，参数辨识的其它名字有非线性估计(nonlinearestimation)、非线性回归(nonlinearregression)、参数优化(optimizationofparameters)，有的文献干脆称为建模(modelbuilding)或系统辨识(identificationofsystems)。“估计”是数理统计中的术语，“辨识”是电气工程上的术语。对于矿山岩石力学问题，我们一般把易量测的位移作为系统的输出，巷道及支护的形状、尺寸作为输入，与模型结构有关的变形参数可作为模型参数，地应力既可以作为输入，也可看作为待识别的参数。第二章参数辨识方法的基础知识第一节参数辨识的几个要素一、模型在自然科学和工程领域中，模型的建立与实验、观察具有同等重要的地位，模型的建立是实验、观察、认识问题的一个飞跃。模型是实际系统“原型”的一种“类似”，它与“原型”必定存在一定的差别，任何原型都有数不清的层次和特征，能反映出原型一切特征的只能是原型本身，而不是模型。建模的目的不是将原型的一切方面都表达出来，模型只是在所要研究的主题范围内能表达人们最需要知道的那些特征即可，从而达到对原型的抽象，以模型为基础，较方便地对原型进行分析、研究，以便通过模型的预测结果来正确指导我们作出某种决策。模型的表达形式可以是概念性的、物理的或者是数学的，这取决于模型建立的特定目的。采用数学描述的形式所建立的模型我们称为数学模型，它是系统中的各个物理量之间的关系所构成的数学结构，象代数方程、微分方程等等。不言而喻，目前在岩石力学中采用的弹性模型、弹塑性模型、粘弹模型都为数学模型。模型结构的形式有：静态的或是动态的，线性的或是非线性的，参数是定常的或是时变的，确定型的或是随机型的，参数模型或是非参数模型。二、参数和状态由常微分或偏微分方程给出的数学模型，有时它的解是一组比较简单的代数方程。在任何情形下，都有自变量和因变量以及一些常数。因变量有时称为状态变量(或信号)，而常数称为参数。在实验中，常常直接量测的是状态，而参数一般不能直接量测出来，参数只能由状态的量测值反求出来。有的教科书所关心的是参数估计问题，而有的教科书则侧重于状态的估计(预测)。参数估计与状态估计(预测)两个问题非常相似，在参数估计的同时，通常状态估计(预测)自动完成。参数和状态这两个概念可以由下面的简单例子说明之。例1：根据牛顿第二定律可知：ax(t)=mFx(t)这里Fx(t)是x方向的力，ax(t)是x方向的加速度，它们都是时间t的函数，m是质量。Fx(t)，ax(t)我们可以看作为状态，而质量m则是参数。力和加速度通常可容易地通过量测获得。对此问题，质量不但可以根据力和加速度求得，而且也可以直接量测获得，但是对有些情况，质量则必须根据力和加速度推算而得，例如，要确定慧星和行星的质量就是一个例子，这时不可能直接量测而得它们的质量。例2：以