高二数学理科期末试卷

1高二数学（上）期末考一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式0322xx的解集是（）A．1,3B．3,1C．3,,1D．1,,32.已知平面的法向量是2,3,1，平面的法向量是4,,2，若//，则的值是（）A．103B．6C．6D．1033．已知,,abc满足cba，且0ac，那么下列选项中一定成立的是()A.abacB.0cbaC.22cbabD.0acac4.已知{}na是由正数组成的等比数列，nS表示{}na的前n项的和．若13a，24144aa，则10S的值是()A．511B．1023C．1533D．30695.下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若21x，则1x”的否命题为：“若21x，则1x”．B．“1x”是“2560xx”的必要不充分条件．C．命题“xR，使得210xx”的否定是：“xR，均有210xx”．D．命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题6.设21,FF为双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且02190PFF，则21PFF的面积是（）A.1B.25C.2D.57.已知向量)0,1,1(a，)2,0,1(b，且bak与ba2互相垂直，则k的值是（）A.1B.51C.53D.578.若ABC的内角,,ABC所对的边,,abc满足22()4abc，且060C，则ab的最小值为()A．233B．433C．43D．8439．若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e的取值范围是（）A．2,1B．2,1C．,2D．,210.若抛物线24yx的焦点是F,准线是l,则经过点F、M（4，4）且与l相切的圆共有（）．A.4个B.2个C.1个D.0个二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.211．等差数列na中，若34512,aaa则71aa=.12.已知1,10,220xxyxy则zxy的最小值是.13.已知正方体1111DCBAABCD中，E为11DC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.14.点P是抛物线xy42上一动点，则点P到点)1,0(A的距离与P到直线1x的距离和的最小值是.15．设na是公比为q的等比数列，其前n项积为nT，并满足条件011,01,110099100991aaaaa，给出下列结论：（1）10q；（2）1198T；（3）110199aa；（4）使1nT成立的最小自然数n等于199，其中正确的编号为（写出所有正确的编号）三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知数列}{na的前n项和为nS，且na是nS与2的等差中项，⑴求12,aa的值；⑵求数列{}na的通项公式。17．（本小题满分13分）已知0,1aa，命题:p“函数xaxf)(在(0,)上单调递减”，命题:q“关于x的不等式21204xax对一切的xR恒成立”，若pq为假命题，pq为真命题，求实数a的取值范围.18．（本小题满分13分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cabbaca，（1）求角B的大小；（2）若ABC△最大边的边长为7，且ACsin2sin，求最小边长．19．（本小题满分13分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC，E、F分别为AB、PB的中点。（1）求证：EFCD；（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值；（3）在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论。21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT（1）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.PFDCAEB3高二（上）期末联考数学试卷参考答案（理科）一、选择题1—5、BCADD6—10、ADBDB二、填空题11、812、313、3214、215、（1）（3）（4）三、解答题16、2nSn解:由已知得2a--------①------------2分由①得：122S112aa--------------4分2224S21222aaaa------------6分(2)解：12nSn+12a-------②②-①得12nnSSn+1nn+1n+1n2a2aaaa------------9分数列}{na以2为首项，以2为公比的等比数列------------11分即1222nnna------------13分17、解：p为真：01a；……2分；q为真：0142a，得2121a，又0,1aa，210a………5分因为pq为假命题，pq为真命题，所以,pq命题一真一假……7分（1）当p真q假1212110aaa……………9分（2）当p假q真2101aa无解…………11分综上，a的取值范围是1(,1)2…………………13分18、解：（Ⅰ）由cabbaca整理得))(()(baabcca，即222abcac，------2分∴2122cos222acacacbcaB，∵B0，∴32B。（Ⅱ）∵32B,∴最长边为b，∵ACsin2sin，∴ac2，∴a为最小边，由余弦定理得)21(2247222aaaa，解得12a，∴1a，即最小边长为119、解：(1)行车所用时间为t＝130x(h)，y＝130x×2×(2＋x2360)＋14×130x，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝2340x＋1318x，x∈[50,100]．(2)y＝2340x＋1318x≥2610，当且仅当2340x＝1318x，即x＝1810时，上述不等式中等号成立．当x＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．20、PD面ABCD,,PDDAPDDC，又底面ABCD是正方形，DADC(0,0,0)000000022200.222DADCDPxyzADaaaaDAaBaaCaEaFaaaFPa以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）、（，，）（，，）、（，，）PFDCAEB410000.22aaEFDCaEFDC（）（，，）（，，），(,,).(,,)(,,)0,()0.022220(,,)(,,0)0,0.2231,2,1,(1,2,1).cos,,626DEFnxyzaaaaxyzxyznDFaanDExyzaaxyBDnaxyznBDnaBDnDBDEF（2）设平面的法向量为由，得取则与平面所成角的正弦3.6值为20.,,,222,,(,0,0)()0,;22222,,(0,,)()0,0.2222200.2aaaGxzGPADFGxzaaaaaFGCBxzaaxxaaaaaFGCPxzaaazzaGGAD（3）设（，，），则平面。（）（）（）点坐标为（，，），即点为的中点解法二、(1)证明：PD面ABCDPDCD，又ABCD是正方形ADCDPDADDCD面PADCDPAE、F分别为AB、PB的中点EFPA，故CDEFADOEEBAEOEFOOBD//.，、，连结的中点（证法二）取.//.PDFOFBFPCDOECDAD，，又PDABCDFOABCD底面，底面，FOCDOEOFOCD面OEFEF面OEFCDEF22211..33111224221153.2242BDEFFDEBDEFDEBDEBBDEFddFOaaFOaaEFAPaDFPBaDEaaVVSSS（2）设到平面的距离为，设底面边长为，则，，，，.6363sin.6121418686.90454342222222222所成角的正弦值为与平面，，则所成角与平面设，，DEFDBDBdDEFDBadaadaaDEFDEaaaDFEFSDEFo.GAD（3）答：是的中点.PCHDHPDDCDHPC（方法一）取的中点，连结，5.BCPDCBCDHDHPCB又平面，，平面1.////2DAGGFFHHFBCDGDGFH取中点，连结、，四边形为平行四边形//.DHGFGFPCB，平面.....ADGPGGBGFPGDBGAPGGBFPBGFPBGOFOABCDOGADFGADFGBCFGPBC（方法二）取中点，连结、、，又为中点，连结底面，，，平面21、解：（1）证法一：设点P的坐标为).,(yx由P),(yx在椭圆上，得.)()()(||222222221xacaxabbcxycxPF由0,acxacaax知，所以.||1xacaPF………………………3分证法二：设点P的坐标为).,(yx记,||,||2211rPFrPF则.)(,)(222221ycxrycxr由.||,4,211222121xacarPFcxrrarr得（2）解法一：设点T的坐标为).,(yx当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时，由0||||2TFPT，得2TFPT.又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，aQFOT||21||1，所以有.222ayx综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx解法二：设点T的坐标为).,(yx当0||PT时，点（a，0）和点（－a，0）在轨迹上.当|0||0|2TFPT且时，由02TFPT，得2TFPT.又||||2PFPQ，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（yx,），则.2,2yycxx因此.2,2yycxx①由aQF2||1得.4)(222aycx②6将①代入②，可得.222ayx综上所述，点T的轨迹C的方程是.222ayx……………………7分（3）解法一：C上存在点M（00,yx）使S=2b的充要条件是.||221,2022020bycayx由③得ay||0，由④得.||20cby所以，当cba2时，存在点M，使S=2b