正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

2018.2.911.若x～N(0,1),求(l)P(-2.32x1.2)；(2)P(x2).解：(1)P(-2.32x1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P(x2)=1-P(x2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228.2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；解：（１）)3(F＝)213(＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.68263某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率[Φ（0.2）=0.5793,Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(xexfx，它是偶函数，说明μ＝0，)(xf的最大值为)(f＝21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布(1.20.2)(0.2)(1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1Px0.57930.884810.46424.某县农民年平均收入服从=500元，=200元的正态分布（1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（aa,）内的概率不少于0.95，则a至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398,Φ（1.96）=0.975]解：设表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P（2）∵()()()2()10.95200200200aaaPaa，()0.975200a查表知：1.96392200aa奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆2018.2.921设随机变量(3,1),若,,则P(2X4)=(A)(B)l—pC．l-2pD．【答案】C因为,所以P(2X4)=,选C．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400[答案]B[解析]记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)＝()A.49B．－19C.23D.59[答案]D[解析]由条件a，b，c成等差数列知，2b＝a＋c，由分布列的性质知a＋b＋c＝1，又E(ξ)＝－a＋c＝13，解得a＝16，b＝13，c＝12，∴D(ξ)＝16×－1－132＋130－132＋121－132＝59.4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为()A．3B．4C．5D．2[答案]A[解析]设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，P(ξ＝0)＝C7－x2C72＝7－x6－x42，P(ξ＝1)＝x·7－xC72＝x7－x21，P(ξ＝2)＝Cx2C72＝xx－142，∴0×7－x6－x42＋1×x7－x21＋2×xx－142＝67，∴x＝3.2018.2.935．小明每次射击的命中率都为p，他连续射击n次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p(ξ1)＝()A.255256B.9256C.247256D.764[答案]C[解析]由条件知ξ～B(n，P)，∵Eξ＝4，Dξ＝2，∴np＝4np1－p＝2，解之得，p＝12，n＝8，∴P(ξ＝0)＝C80×120×128＝128，P(ξ＝1)＝C81×121×127＝125，∴P(ξ1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－128－125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－x－μi22σi2(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()A．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3B．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3C．μ1＝μ2μ3，σ1σ2＝σ3D．μ1μ2＝μ3，σ1＝σ2σ3[答案]D[解析]正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R上的奇函数满足,则的值为0;2018.2.94④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.2018.2.958、下列命题:`(1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3)(1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26B．25C．23D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为2018.2.96（）A．B．C．D．【答案】C样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选C．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【答案】【答案】B根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P恰好取自阴影部分的概率为,选B．5从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105.