王建辉自动控制原理教学PPT03

第三章自动控制系统的时域分析本章要点•掌握线性定常一阶、二阶系统的时域响应及动态性能的计算。•掌握系统稳定的充分必要条件，Routh判据，误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型号。•掌握高阶系统的主导极点，偶极子及高阶系统的降阶。主要内容3.1自动控制系统的时域性能指标3.2一阶系统的阶跃响应3.3二阶系统的阶跃响应3.4高阶系统的动态响应3.5自动控制系统的代数稳定判据3.6稳态误差小结对于一个实际系统其输入信号往往是比较复杂的,而系统的输出响应又与输入信号类型有关。因此,在研究自动控制系统的响应时,往往选择一些典型输入信号,并且以最不利的信号作为系统的输入信号,分析系统在此输入信号下所得到的输出响应是否满足要求。估计系统在比较复杂信号作用下的性能指标。一、自动控制系统的典型输入信号3.1自动控制系统的时域指标1.阶跃函数000)(tAttrA=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)。2斜坡函数（速度函数）000)(tAtttrA=1时斜坡函数称作单位斜坡函数。02100)(2tAtttr3.抛物线函数（加速度函数）当A=1时，称为单位抛物线函数。4.脉冲函数ttzAttr0000)(Adttr)(面积A表示脉冲函数的强度。的脉冲函数称为单位脉冲函数，记作，即)(t1)(000)(dttttt0,1A5.正弦函数。式中A为振幅，ω为角频率，正弦函数为周期函数当正弦信号作用于线性系统时，系统的稳态分量是和输入信号同频率的正弦信号，仅仅是幅值和初相位不同。根据系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应，可以得到系统性能的全部信息。动态过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称过渡过程、暂态过程。稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。表征系统输出量最终复现输入量的程度.二、动态过程和稳态过程三、动态性能指标和稳态性能指标ptr0.5xc(t)tdtp01tst稳态误差1.延迟时间td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。2.上升时间tr：响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。3.峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。ptr0.5xc(t)tdtp01tst稳态误差稳态性能：由稳态误差ess描述。稳态误差：若时间趋于无穷时,系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数,则系统存在稳态误差.4.调节时间ts(过渡时间)：响应到达并保持在终值内(2%或5%)所需时间。5.超调量：响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比，即常用trts标志动态过程的快速性,标志动态过程的稳态性()()%100%()cpccxtxx3.2一阶系统的阶跃响应一、数学模型能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统。如RC电路:微分方程：传递函数：结构图：11)()(RCssRsCRi(t)C()rut()cutR(s)C(s)E(s)(-)1/TstutudtduRCrcc二、单位阶跃响应当r(t)=1(t)时，一阶系统的输出c(t)称为单位阶跃响应，记作h(t)。01)(11)]([)(11tesRTsLsCLthTt特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为1/T；3）无超调；稳态误差ess=0。1()1(0)tThtetj0P=-1/TS平面(a)零极点分布xc(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为1/Txc(t)=1-e-t/T0tT2T3T4T1(b)单位阶跃响应曲线性能指标：延迟时间：td=0.69T上升时间：tr=2.20T调节时间：ts=3T(△=0.05)或ts=4T(△=0.02)传递函数结构图以位置控制系统为例，2222)()(nnnsssRsCR(s)C(s)(-))2(2nnss其中：ωn—自然频率；ζ—阻尼比。一、二阶系统的数学模型22ooMoidtdtTKtKtdtdt微分方程3.3二阶系统的阶跃响应标准形式二、二阶系统的阶跃响应2220nnss•特征根决定了系统的响应形式。其输出的拉氏变换为2222121()()()2()()nnnnCssRsssssssss二阶系统特征方程根•进一步的描述如下图：21,21nnsj(a)闭环极点分布j1122334505(b)单位阶跃响应曲线1.21.01.61.40.80.60.40.2c(t)161824681012140t21354具有两个特征根均位于右半平面，由于此时的系统是不稳定的，故不予研究1.ζ02.ζ=0无阻尼二阶系统此时系统有两个纯虚根：s1,2=±jn阶跃响应：c(t)=1-cosnt系统单位阶跃响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。3.0ζ1欠阻尼二阶系统•系统有一对共轭复根：21,21nnsjdj=21arctan2()1sin()(0)1ntdecttt•其中=cos0s1ωn-ns2jjd21dn阶跃响应为•稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；•瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由n(即σ，特征根实部）决定；•振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成：系统有两个相同的负实根：s1,2=-n阶跃响应:此时系统有两个不相等负实根21,212121,()nnsTTTT1211211211()111ttTTcteeTTTT4ζ=1临界阻尼二阶系统5.ζ1过阻尼二阶系统系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的，无稳态误差。系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差。阶跃响应：tetcntn110123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0三、欠阻尼二阶系统的动态性能指标2()1sin()(0)1ntdecttt21ndrt阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。1.动态性能指标计算上升时间tr单位阶跃响应2sin()01nrtdret()1rct单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。21ndpt峰值时间tp()0pttdctdt•由•得单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。()()%100%()pctcc超调量%2()1sin()(0)1ntdecttt%100%21e2sin()100%1nptdpet•由单位阶跃响应进入±误差带的最小时间。调节时间ts•有•根据定义()()()()sctcctt2sin()()1ntdsetttsin()1dt•因•则2()1ntsett欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：nst5.34.5snt(=5%)（=2%时）•阻尼比ζ越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；•ζ过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差；•ζ=0.707，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称ζ=0.707为最佳阻尼比。2.结构参数ζ对单位阶跃响应性能的影响c(t)t0121e1nt-21e1nt-n1T包络线•工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。)1(sTsKmR(s)(-)C(s)()()1()(1)mGsKsGssTsK2222/()//2mnmmnnKTsssTKTss21%100%16.3%e20.731pdnt秒0.486rdt秒31.2snt秒•化为标准形式•即有2n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：系统闭环传递函数为•解得n=5,ζ=0.5例3-1已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。例3-2设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。例22/1%30%0.3100%e2lnln0.31.21e0.3620.11pdnt秒1231.431.433.60.9341n秒0t(s)11.30.1h(t)sWsWsssssWKKnnB111302.241130222222.2411291sssWsWsWBBk3.4高阶系统的动态响应高阶系统的闭环传递函数nnmmmmmmBrcasasasabsbsbsbsWsXsX11101110单位阶跃响应teBCteBeAAtxnkktrknkkknkkkrknkktkqjtpjcnkknkkj21212101sin11cos•高阶系统动态响应各分量衰减的快慢决定于指数衰减常数•各分量的系数不仅和极点在s平面的位置有关并且与零点的位置有关•主导极点在整个响应过程中起着主要的决定性作用的闭环极点，我们称它为主导极点。工程上往往只用主导极点估算系统的动态特性。即将系统近似地看成是一阶或二阶系统。3.5自动控制系统的代数稳定判据一、稳定性的概念若控制系统在足够小的初始偏差的作用下，其过渡过程随时间的推移，逐渐衰减并趋于零，即具有恢复原平衡状态的能力，则称这个系统稳定。否则，称这个系统不稳定。二、线性定常系统稳定的充分必要条件设n阶线性定常系统的微分方程为对上式作拉氏变换，得1011110111()()()()()()()()nnnnnnmmmmmmdctdctdctaaaactdtdtdtdrtdrtdrtbbbbrtdtdtdt()()()()()()MsNsCsRsDsDs在上式中取R(s)=0，得到在初始状态影响下系统的时间响应(即零输入响应)为若pi为系统特征方程D(s)=0的根且当pi各不相同时，有若系统所有特征根pi的实部均为负值，即Re［pi］0则零输入响应(暂态响应)最终将衰减到零，即这样的系统就是稳定的。)()()(sDsNsCnitpiieAsDsNLsCLtc111)()()]([)(0)(limtct三、劳斯判据设n阶系统的特征方程为D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯表。sna0a2a4a6……sn-1a1a3a5a7……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1,,,,,,141713131512121311171603151402131201bbbaacbbbaacbbbaacaaaaabaaaaabaaaaab其中劳斯判据给出了控制系统稳定的充分条件是，劳斯表中第一列所有元素均大于零。设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s