《导数及其应用》一轮复习总体设想

第1页《导数及其应用》一轮复习总体设想湖北省黄冈中学杨园导数是微积分的核心概念之一，具有极其丰富的实际背景和广泛的应用，它是高中数学中的重要内容，是解决实际问题的强有力工具，也是学生进一步学习高等数学的基础.有关导数的内容历年来都是高考的重点、难点和热点，在高考中占有主要地位.通过本章的复习，要学生体会导数的丰富思想及内涵，感受导数在解决实际问题中的巨大作用.一、考纲解读（一）新课标湖北卷与全国卷(文)考纲对比内容2015年湖北省考试大纲2015年全国新课标考试大纲导数概念及其几何意义了解导数的概念了解导数概念的实际背景理解导数的几何意义理解导数的几何意义导数的计算理解常见基本初等函数的导数公式能根据导数定义求函数,yC(C为常数)，21,,yxyxyx的导数理解常用的导数运算法则能利用基本初等函效的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数导数在研究函数中的应用掌握利用导数研究函数的单调性了解函数单调性和导数的关系能利用导数研究函数的单调性会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)第2页掌握利用导数研究函数的极值、最值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）生活中的优化问题理解利用导数解决某些实际问题会利用导数解决某些实际问题⑴联系：对导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、最值等重点知识的考查要求不变；⑵区别：全国卷增加了解导数概念的实际背景和函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，对利用导数研究函数的单调性，求极值、最值的要求更为明确和具体.（二）近三年新课标全国卷(文)对本专题的考情分析近三年新课标全国卷(文)对本专题的考查统计如下：年份题号题型分值考查知识点比例难度20139选择题5利用函数的奇偶性及极值点辩图11.3%中20解答题12利用导数判断函数的单调性、并求极值中201412选择题5利用导数研究函数的图像、特值法11.3%难21解答题12导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性难201514填空题5导数的几何意义、利用导数求切线方程11.3%易第3页21解答题12导数在判断函数的单调性及最值中的应用难根据上表可以看出新课标全国卷(文)在本专题中的命题特点如下：⑴从考查要求来看：不仅有基本知识、基本方法、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查；⑵从考查题型和难度来看：题目基本稳定在“一小一大”的格局上，总分值比例约为11.3%，其中小题平均难度适中，解答题难度很大；⑶从考查内容来看：高考对导数的考查可分为三个层次：第一层次是考查导数的概念、几何意义和运算；第二层次是考查导数的简单应用，包括判断函数的单调性，求极值、最值等；第三层次是考查导数的综合应用，包括解决实际应用问题，以及与函数、数列、方程、不等式等知识相结合的综合应用；⑷从考查思维和能力来看：既考查学生分析问题和解决问题的能力，又考查运算能力和数据处理能力．二、专题知识体系与复习计划（一）知识体系（二）复习计划根据新课程全国文科考试大纲的要求，我安排《导数及其应用》这一章的复习分为导数的概念及其运算、导数在研究函数中的应用、导数的综合应用三个模块完成，共计八课时，在每一个模块的复习中都要把握重难点及易错、易混点.第4页具体安排如下表：模块课时课时内容重难点把握易错、易混点模块一：导数的概念及其运算两课时①导数的概念②基本初等函数的导数公式、导数运算法则③导数的几何意义①了解导数概念的实际背景；②能准确地求出课标所要求的基本函数的导数；③理解导数的几何意义过某点的切线问题要讨论该点是否为切点模块二：导数在研究函数中的应用三课时①判断与证明函数的单调性②求函数的单调区间③已知函数的单调性求参数的取值范围④利用导数求函数的极值⑤利用导数求函数的最值①能利用导数研究函数的单调性；②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件③会用导数求函数的极值、最值；①函数在某区间上单调与某区间是单调区间的区别；②极值与最值的区别；第5页模块三：导数的综合应用三课时①利用导数解决不等式恒成立、存在问题②利用导数证明不等式问题③利用导数解决函数零点、方程的根等问题④解决生活中的优化问题①会利用导数解决与数列、不等式等相结合的综合问题②会利用导数解决某些实际问题①实际问题中自变量的实际意义；②注意含参问题要分清参量与变量三、重点知识强化策略一轮复习讲究以课本为基础，不漏过任何一个知识点，强调基本知识、基本方法和基本技能，但是对于重点知识，要予以重点关注，常见题型和方法要强化训练.下面我将介绍几种本专题中的重点题型及解法.题型1：导数几何意义的应用例1.（2015年全国新课标卷Ⅰ文T14）已知函数31fxaxx的图像在点1,1f的处的切线过点2,7，则a.【方法提炼】：求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线的斜率，进而表示出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程.第6页题型2：利用导数判断函数的单调性例2.（2015高考重庆文19）已知函数32()fxaxx（aR）在43x处取得极值.(1)求a的值；(2)若()()xgxfxe，讨论()gx的单调性.【方法提炼】：函数()fx在区间(,)ab上，⑴若()0fx，则()fx在此区间上单调递增；⑵若()0fx，则()fx在此区间上单调递减.⑶若恒有()0fx，则()fx在此区间上为常数函数.题型3：利用导数求函数的极值例3．（2013年全国新课标卷Ⅰ文T20）已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．【方法提炼】：利用导数求函数()yfx的极值的一般步骤：⑴先求函数的定义域，再求函数()yfx的导数()yfx⑵求方程()0fx的根；⑶列表并判断导数在方程根左右的符号，确定极值点.题型4：利用导数求函数的最值例4.已知函数)(xfaxxx9323.（1）求)(xf的单调递减区间；（2）若)(xf在区间]2,2[上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【方法提炼】：如果在闭区间[,]ab上函数()yfx的图像是一条连续不第7页断的曲线，那么它必有最大值和最小值.利用导数求函数在闭区间[,]ab上的最值的一般步骤：⑴先求函数在(,)ab内的极值；⑵将函数的各极值与端点处的函数值(),()fafb进行比较，其中最大一个是最大值，最小一个是最小值.四、难点知识突破策略（一）难点诊断：高三的学生已经学习了导数的全部内容，但是考虑到高中生的认识发展规律，学生对导数的相关知识的掌握及灵活运用，还存在一定的问题，主要表现在如下三个方面：①思维方面：学生对知识迁移困难、对知识不能灵活运用、有时根本没有思路，或者有思路但不简捷；②操作方面：学生进行导数的运算的速度不快、含参问题分类讨论不够准确；③心理方面：学生对于繁琐的导数问题存在恐惧心理，缺乏自信心和钻研精神.（二）难点突破策略：根据以上难点诊断，在复习过程中我主要采取以下难点突破策略：⑴一题多解【举例1】：已知函数lnfxxx，2Rgxaxxa，求使fxgx≤恒成立的实数a的取值范围．【设计意图】：导数中的含参问题是学生惧怕的一个难点知识，处理的方法主要有分离参变量或分类讨论，其中分离参变量要注意分清参第8页量和变量以及参量和变量能否分离，而分类讨论要注意如何分类以及分类时要做到“不重不漏”.通过一题多解，可以使学生从不同侧面和多个角度更加深入地把握问题的本质，激发学生的学习兴趣，培养学生的探索精神和创造性思维.⑵一题多变【举例2】：已知函数32()31fxaxxx在R上单调递减，求实数a的取值范围.【变式1】：已知函数32()31fxaxxx在[1,4]上单调递减，求实数a的取值范围.【变式2】：已知函数32()31fxaxxx在[1,4]上存在单减区间，求实数a的取值范围.【设计意图】：通过这种从例题到变式的不断升华、变难，让学生寻找知识点之间联系与区别，全面、深刻的理解知识的本质,培养学生举一反三、触类旁通的能力，激发学生思维的发散性和变通性.⑶多题归一【举例3】：设函数f(x)＝lnx＋mx，m∈R，试讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．【举例4】：已知函数f(x)＝x3－3x2＋x＋2，证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．【设计意图】：对于方程的根、函数零点、函数图象交点个数问题的求解，一般都是利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，讨论零点或图象的交点个数，体现了数形结合和函数与方程第9页的思想.通过多题归一，让学生发现此类问题的本质核心所在，找到解决此类问题的规律和方法，使知识系统化、结构化、完整化，增强学生的自信心，培养学生总结反思、融会贯通的能力.五、训练题目的选择原则：高考试题“源于课本，高于课本”，一轮复习要立足课本、紧抓考纲，减少复习过程中的盲目性和随意性.作为老师，要跳进题海，做大量的题目，对例题和习题进行整合、重组、演变、推广，精选和组织高质量、针对性强的例题和习题，这样才能使学生跳出题海、学得轻松、学得快乐.在题目的选择上我遵循如下原则：①针对性：练其所需，解其所难；②诊断性：查漏补缺，诊防结合；③延展性：以点带面，开拓发散；④启发性：启迪思维，授人以渔.