3.1不等关系与不等式(2)

不等关系与不等式（2）不等式的性质对称性—ab传递性—ab，bc可加性—ab推论移项法则—a+cb同向可加—ab，cd可乘性—ab,推论同向正可乘—ab0，cd0可乘方—ab0可开方—ab0(nR+)(nN=2)baa+cb+cab-ca+cb+dacacbcc0c0acbcanbnnnbaacbd课堂练习:用不等号“”或“”填空:⑴,_______abcdacbd;⑵0,0____abcdacbd;⑶330______abab;⑷22110____abab.（2）若－3ab1，－2c－1，求(a－b)c2的取值范围。因为－4a－b0，1c24，所以－16(a－b)c20例4．（1）如果30x36，2y6，求x－2y及的取值范围。xy18x－2y32，518xy例5．若，求的取值范围。22≤≤,22,022222≤例6.已知0ab,0c,求证:cabcab解:法一:作差比较法∵()()cabccbababaccbaababab∵0,0,0ababab∵0c∴()0cbaab作差变形定符号确定大小∴cabcab例6.已知0ab,0c,求证:cabcab解:法二:巧用不等式的性质(综合法)∵0ab,0c,∴0ab∴11ababab即11ba∴ccba(两边同乘以一个负数不等号方向要改变)从已知出发运用不等式的性质变形继续变形∴cabcab∴ccab∴11ccab练习1．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，58,33mn所以9a－b=(a－b)+(4a－b)5383由－4≤a－b≤－1，得5520()333ab≤≤由－1≤4a－b≤5，得8840(4)333ab≤≤以上两式相加得－1≤9a－b≤20.练习2、若－6a8,2b3,分别求2a+b,a-b的范围注意：同向不等式不能两边相减练习3:1.已知,,,abxyR且11,xyab,求证:xyxayb例8.非负实数x1、x2，且x1+x2≤1，求证：12121111xxxx≥证明：12120,0,1,xxxx≥≥≤121210,10,10xxxx≥≥≥要证:12121111xxxx≥，只要证:221212(11)(11)xxxx≥即证：1212121212221221xxxxxxxxxx≥只要证：120xx≥120xx≥成立，故原不等式也成立。4(1)1,1(2)5ff)3(f例6求:的取值范围.已知:函数,)(2caxxf解：因为f(x)=ax2－c,所以(1)(2)4facfac解之得1[(2)(1)]314(2)(1)33affcff所以f(3)=9a－c=85(2)(1)33ff4(1)1,1(2)5ff因为所以8840(2)333f≤≤5520(1)333f≤≤两式相加得－1≤f(3)≤20.步步高学案P137性质１、如果ab，那么ba；如果ab，那么ba．性质２、如果ab且bc，那么ac．推论：如果ab且bc，那么ac．性质３、如果ab，那么a＋cb＋c；推论、如果a＋bc，那么ac－b；性质６、ab0,且cd0，那么acbd性质4、如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc；性质５、ab,且cd，那么a＋cb＋d性质７、ab0,那么anbn性质8、ab0,那么nnab课堂小结性质1：如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。常用的基本不等式的性质(对称性)性质2：如果ab，bc，那么ac.证明：根据两个正数之和仍为正数，得00ababbcbc(a－b)+(b－c)0a－c0ac.这个性质也可以表示为cb，ba，则ca.这个性质是不等式的传递性。(传递性)性质3：如果ab，则a+cb+c.证明：因为ab，所以a－b0，因此(a+c)－(b+c)=a+c－b－c=a－b0，即a+cb+c.性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.(可加性)a+bca+b+(－b)c+(－b)ac－b.由性质3可以得出推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。（移项法则）推论2：如果ab，cd，则a+cb+d.证明：因为ab，所以a+cb+c，又因为cd，所以b+cb+d，根据不等式的传递性得a+cb+d.几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。同向不等式可相加性性质5：推论1：如果ab0，cd0，则acbd.性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.证明：因为ab，c0，所以acbc，又因为cd，b0，所以bcbd，根据不等式的传递性得acbd。几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。(可乘性)性质6：推论2：如果ab0，则anbn，(n∈N+，n1).证明：因为000ababnab个，根据性质4的推论1，得anbn.(可乘方性)性质7：推论3：如果ab0，则，(n∈N+，n1).nnab证明：用反证法，假定，即或，nnab≤nnabnnab根据性质4的推论2和根式性质，得ab或a=b，这都与ab矛盾，因此nnab(可开方性)性质8：