搜索
一、简单专题集训特殊四边形的相关证明与计算(连续7年考查)类型一与平行四边形有关(8年2考：2016.19、2013.19)1.(2019大兴区一模)如图，矩形ABCD，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BD.(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若tan∠DBC＝34，CD＝6，求▱ABDE的面积.第1题图2.已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G.(1)求证：AE⊥DF；(2)若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的长.第2题图类型二与菱形有关(8年4考：2019.20、2018.21、2017.22、2014.19)1.如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝57°，求∠BAO的大小.第1题图2.(2019海淀区一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，E为对角线AC的中点，F为边BC的中点，连接DE，EF.(1)求证：四边形CDEF为菱形；(2)连接DF交EC于点G，若DF＝2，CD＝53，求AD的长.第2题图3.(2019门头沟一模)如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，连接BC，DC和AC，AC与BD交于点O.(1)用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形；(2)如果AB＝5，cos∠ABD＝35，求BD的长.第3题图4.(2020原创)在平面内，给定不在同一直线的四点A、B、C、D，如图所示.若四点构成的四边形ABCD中，四条边均相等，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，连接OE、OF、EF.(1)求证：∠AFE＝∠OFE；(2)若AB＝5，AC＝6，求△OEF的周长.第4题图类型三与矩形有关(仅2015.22考查)1.(2019西城区二模)如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，AD⊥CD.点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE.(1)求证：AC＝BD；(2)若BC＝2，BE＝13，tan∠ABE＝23，求EC的长.第1题图2.(2019昌平区二模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE.连接DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若BF＝8，DF＝4，求CD的长.第2题图参考答案类型一与平行四边形有关1.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AB∥CD.∵延长CD到点E，DE＝CD，∴AB＝DE，AB∥DE.∴四边形ABDE是平行四边形；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°.∵tan∠DBC＝CDBC＝34，CD＝6，∴BC＝8.∵AD＝BC，AD∥BC，∴AD＝8，∠ADE＝90°.∴S▱ABDE＝DE·AD＝6×8＝48.2.(1)证明：在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠ADC＋∠DAB＝180°.∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，∴∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC，∠DAE＝∠BAE＝12∠DAB.∴∠ADF＋∠DAE＝12(∠ADC＋∠DAB)＝90°.∴∠AGD＝90°.∴AE⊥DF；(2)解：如解图，过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH.∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝10.在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAE＝∠BEA.∴∠CDF＝∠CFD，∠BAE＝∠BEA.∴DC＝FC，AB＝EB.又∵AD＝BC＝10，AB＝DC＝6，∴CF＝BE＝6，BF＝BC－CF＝10－6＝4.∴FE＝BE－BF＝6－4＝2，∴FH＝FE＋EH＝12，在Rt△FDH中，DF＝FH2－DH2＝122－42＝82.∴DF的长是82.第2题解图类型二与菱形有关1.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC；(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝57°.又∵菱形ABCD，∵AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝33°.2.(1)证明：∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB，EF＝12AB，CF＝12BC.∵AB∥CD，∴EF∥CD.∵AB＝2CD，∴EF＝CD.∴四边形CDEF是平行四边形．∵AB＝BC，∴CF＝EF.∴四边形CDEF是菱形；(2)解：∵四边形CDEF是菱形，DF＝2，∴DF⊥AC，DG＝12DF＝1，如解图，在Rt△DGC中，CD＝53，可得CG＝CD2－DG2＝43.∴EG＝CG＝43，CE＝2CG＝83.∵E为AC的中点，∴AE＝CE＝83.∴AG＝AE＋EG＝4.在Rt△DGA中，AD＝AG2＋DG2＝17.第2题解图3.解：(1)补全的图形如解图所示；第3题解图证明：由题意可知BC＝DC＝AB.∵在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.∴BC＝DC＝AD＝AB.∴四边形ABCD为菱形；(2)∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD.在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AB＝5，cos∠ABD＝35，∴OB＝AB·cos∠ABD＝3.∴BD＝2OB＝6.4.(1)证明：根据题意作图如解图，∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD.∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD，OE＝12AB，OF＝12AD.∴OF＝AF＝DF，∴∠FOD＝∠FDO.∵EF∥BD.∴∠AFE＝∠FDO，∠OFE＝∠FOD.∴∠AFE＝∠OFE；第4题解图(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝3，BO＝DO，AB＝AD＝5.在Rt△AOB中，BO＝AB2－AO2＝4.∴BD＝8.∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝12BD＝4.∴△OEF的周长＝OE＋OF＋EF＝12AB＋12AD＋4＝9.类型三与矩形有关1.(1)证明：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AD⊥CD，∴四边形ABCD是矩形．∴AC＝BD；(2)解：如解图，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，则∠EFB＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∴∠ABC＝∠EFB.∴EF∥AB.∴∠ABE＝∠FEB.∴tan∠FEB＝tan∠ABE＝23.∴FBEF＝23.设FB＝2x(x0)，则EF＝3x.∵BE2＝EF2＋FB2，BE＝13，∴(13)2＝(3x)2＋(2x)2，解得x＝1.∴FB＝2，EF＝3.∵BC＝2，∴FC＝FB＋BC＝4.∴EC＝EF2＋FC2＝5.第1题解图2.(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC且AD＝BC.∵BE＝CF，∴BC＝EF.∴AD＝EF.∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°.∴四边形AEFD是矩形；(2)解：设BC＝CD＝x，则CF＝8－x，在Rt△DCF中，CD2＝CF2＋DF2，∴x2＝(8－x)2＋42，∴x＝5.∴CD＝5.