3.3.2--简单的线性规划问题2

12012年09月6日21255334xyxyx设z=2x+y,求满足时,求z的最大值和最小值.线性目标函数线性约束条件线性规划问题任何一个满足不等式组的（x,y）可行解可行域所有的最优解目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。33解线性规划问题的步骤：2.画：画出线性约束条件所表示的可行域；3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；4.求：通过解方程组求出最优解；5.答：作出答案。1.找:找出线性约束条件、目标函数；可行域为图中阴影部分,由图可知s=x+y在点(4，5)处取得最大值，最大值为s=4+5=9.(2009·北京卷)若实数x,y满足x+y-2≥0x≤4y≤5,则s=x+y的最大值为.29x≥1x-y+1≤02x-y-2≤0，则x2+y2的最小值是.3.已知实数x、y满足5x-y+1=0x=1，得最优解为A(1,2)，所以x2+y2的最小值为5.作出可行域，由一、求非线性目标函数的最值x-y-2≤0x+2y-4≥02y-3≤0,则的最大值是.设实数x、y满足不等式组确定的平面区域如图阴影部分.yx五、比值问题设=t，则y=tx,求的最大值，即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx过A点时，t最大.x+2y-4=02y-3=0代入y=tx,得t=.所以的最大值为.yxyx由，解得A(1,).3232yx考点常见的几何问题的线性规划.方法点拨:目标函数建立后,要联系相关几何意义.如斜率、截距、距离等.自学范例2.2510(2)；42)1(22的最小值求的最大值求yyxyx0520402yxyxyx设x、y满足分析:先画出不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义求解.解析:如图直线x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交点A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)设z=x+2y-4，则作斜率为的平行直线l.当l过C(7，9)时，截距最大，这时z也最大.即z的最大值是7+2×9-4=21..2421zxy21k(2)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2是表示区域上的点(x，y)与(0，5)的距离的平方.∵(0，5)到直线x-y+2=0的距离是d=∴x2+y2-10y+25的最小值是2923)1(1|2510|222d.2914归纳小结1.在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值，是一种数形结合的数学思想，它将目标函数的最值问题转化为动直线在y轴上的截距的最值问题来解决.2.对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取最大(小)值；若B＜0，则当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取最小(大)值.方法点拨：目标函数是连续函数或是整点最值问题.以实际意义来看，一类是资源分配能使完成任务量最大；另一类是统筹安排任务，使耗费的人力、物力资源最少.考点线性规划解决应用问题3自学范例3某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？分析:假设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，则可列出x，y所满足的不等式组及目标函数.解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如上图.0，0，90025，300.20003000.0，0，90000200500，300yxyxyxyxzyxyxyx于二元一次不等式组等价目标函数为作直线l:3000x+2000y=0.即3x+2y=0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.联立解得x=100，y=200.∴点M的坐标为(100，200).∴zmax=3000x+2000y=700000(元).答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告.公司的收益最大，最大值为70万元..90025300，yxyx【点评】画出可行域后，再把目标函数平行移动，比较截距的大小，要注意目标函数的意义.注意单位的换算！练习制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的利润，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，则目标函数z=x+0.5y.x+y≤100.3x+0.1y≤1.8x≥0,y≥0,作可行域,当直线l:x+0.5y=z过点M时,z取最大值.x+y=10x=43x+y=18，y=6，所以点M(4,6).故当x=4，y=6时，zmax=7.答：投资甲项目4万元，投资乙项目6万元时，可能的盈利最大.由得点评点评这是在高考中第一次以解答题的形式考查简单的线性规划问题.本题是一道应用题，以投资决策为背景，以线性规划为素材，考查学生对数学的应用意识和能力，不落俗套，令人耳目一新.19.（本小题满分12分2010年广东高考）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？2.54zxy解：设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元12864,6642,61064,0,,0,.xyxyxyxxNyyN3216,7,3532,0,0.xyxyxyxy即4,4xy作出可行域如图所示：经试验发现，当时，花费最少，为2.544426（元）答：应当为该儿童预定4个单位的午餐和4个单位晚餐考点综合新题40142，08，0192yxyxyx自学范例4(1)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取取值范围是()A.[1，3]B.[2,]C.[2，9]D.[，9]1010)　　(，，0，22，0)2(范围是的取值则三角形表示的平面区域是一个若不等式组aayxyyxyx________.，}25|)，{(003052)，(，(3)341＜D.0341.C1＜.0Ｂ34A.22的取值范围是则若为实数设或myxyxymyxyxyxm　aa　　　　　aa　　　　　　a分析:结合图形求解.解析:(1)过点(1,9)(3,8)求得2≤a≤934003434(3)0D(2)mmmxym率取值为绕原点旋转过程中其斜直线选【点评】解题的关键是画出图形.备选题备选题设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是()A利用三角形的三边关系x+y1-x-yx-y1-x-yy-x1-x-y,x+yxy,故A所表示的平面区域为A选项.即121212