因式分解定理与试根

第三讲因式定理和试根法知识点1.长除法处理多项式除以多项式，需要用长除法进行竖式计算。【例题】3(234)(3)xxx长除法的运算步骤：1.将被除式和除式按同一字母降幂排列，如有缺项用0补齐2.列竖式计算3．当余式的次数低于除式次数时，计算停止。得到商式和余式【例1】用长除法计算下列各式的商式和余式。42(3424)(2)xxxx322(3451)(31)xxxxx2.综合除法综合除法是整式除法的一种特殊而简便的方法。【例题】3(234)(3)xxx【例2】用综合除法计算下列各式的商式和余式。32(352)(3)xxx24(8214)(1)xxxx奥巴马老师语录：综合除法虽然简单方便，但仅适用于除式为一次因式时。若除式是二次或更高次，则只能使用长除法。3.关于()fx()fx表示一个关于x的代数式。2()1fxx其中f表示对对括号里的字母进行的一系列的运算2(1)110f()fa表示当x=a时，代数式()fx的值。4.余数定理和因式定理若多项式()fx除以多项式()gx所得的商式为()qx，余式为()rx，则被除式、除式、商式和余式之间的关系，可以表示为：()()()()fxgxqxrx特别的，当除式()gx为一次式()xa时，则余式()rx只能为常数，余式也可以叫做余数，记作r，于是有()()()fxxaqxr余数定理：多项式()fx除以()xa的余数即为()fa举例3(234)(3)xxx余数即为2(3)2333459f因式定理：若多项式()fx有一个因式()xa，则()0fa；反之，如果()0fa，则()xa必为多项式()fx的一个因式。【例3】求多项式542()7465fxxxx除以(1)x所得的余数试确定m值，使多项式543()3811fxxxxxm能够被(1)x整除【例4】一个关于x的二次多项式()fx，它被(1)x除余2，它被(3)x除余28，它还可以被(1)x整除，求()fx【例5】试确定a与b，使422xaxbx能被232xx整除5.试根法利用因式定理和综合除法，可以得到因式分解的另一种方法，试根法。【例题】32464xxx原式=2(2)(22)xxx奥巴马老师总结：对于整系数多项式1011()nnnnfxaxaxaxa若首项系数01a，且有因式()xq（q为整数），则q一定是常数项na的约数若首项系数01a，且有因式()pxq（p、q为互素整数），则p一定是首项系数0a的约数，q一定是常数项na的约数根据因式定理，若能找到()0fq，或()0qfp，即找到了()fx的一个因式()xp或()pxq，剩余部分可以用综合除法或者长除法求得。【例6】因式分解4325412xxxx因式分解432262xxxx【例7】因式分解322335xxyxyy因式分解32236532xxyxyy【课后作业】【练习1】用长除法计算：（1）322(3451)(31)xxxxx（2）322(31)(321)xxxxx【练习2】已知2210xx，求5328851xxxx的值。【练习3】多项式3234xx除以3x所得的余式为_________多项式4323258xxxx除以2x所得的余式为_________【练习4】若多项式224xxk有一个因式是3x，则_______k若多项式3233xxxk有一个因式是1x，则_______k【练习5】因式分解：43233116xxxx因式分解：432861932xxxx【练习6】因式分解：3223694xxyxyy因式分解：4322342344xxyxyxyy