三重积分-PPT课件

第三节三重积分一、三重积分的概念与性质二、三重积分的计算1、直角坐标（投影法、截面法）2、柱面坐标3、球面坐标一、三重积分的概念与性质讨论密度分布不均匀的物体的质量：(1)一根细棒：ab密度为iMbadxxf)()(ifixni10lim(2)平面薄片：),(iiM),(iifni10limiDdxdyyxf),(密度为yxD(3)空间立体：密度为dvzyxf),,(),,(iiizyxM),,(iiizyxfni10limiv(3)空间立体：密度为dvzyxf),,(),,(iiizyxM),,(iiizyxfni10limiv定义设函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上有界，),,2,1(),,(nivzyxiiii作乘积iiiivzyxf),,(iiiinivzyxf),,(1若对Ω的任意分法，及点的任意取法),,(iiizyx时，当0和总趋于确定的极限I，则称此极限I为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分.（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限nvvv,,,21将Ω为n个区域，个小区域中直径最大者为令n记为iiniiivzyxf),,(lim10积分区域被积函数体积元素注：1、被积函数f(x,y,z)在有界闭区域Ω上连续，则f(x,y,z)在Ω上三重积分存在.dvzyxf),,(积分变量2、三重积分与二重积分有类似的性质.dv1)1(的体积两部分与面对称，分成关于设21xoy),,(),,(zyxfzyxf0dvzyxf),,(1),,(2dvzyxf),,(),,(zyxfzyxf(2)对称性解例11)1(:,)3sin(222232zyxdvyzxey,面对称关于xoz为奇函数，关于xxey3sin202dvyz,面对称关于yoz0sin32dvxey为奇函数，关于xyz2dvdvyzxey3)3sin(2324343二、三重积分的计算（一）直角坐标dxdydzyxf),(用平行坐标平面的平面来划分区域Ω,zyxvdxdydzdv1、投影法(1)Ω：平行于z轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.),(2yxzz),(1yxzz),(yx),(2yxzz),(1yxzz),(yx步骤：1、求Ω在xoy面的投影区域;3、),(2yxzz),(1yxzz),(yx2、过做平行与z轴的射线，xyDyx),(确定),(),(21yxzzyxz),(),(21),,(yxzyxzdzzyxfxyDdxdy4、dvzyxf),,(),(),(21),,(yxzyxzdzzyxf)()(21xxbadydx(2)Ω：平行于x轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.dvzyxf),,(),(),(21),,(zyxzyxdxzyxfyzDdydz(3)Ω：平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个.dvzyxf),,(),(),(21),,(zxyzxydyzyxfxzDdxdz例2解Ω在xoy面的投影区域：xozy2111例3将三重积分化为三次积分xozy1xyDxyDxozyxzDxozy2、截面法其中Dz是垂直z轴的平面截所得到的一个平面闭区域则例4解例5解xozy（二）柱面坐标则、、z称为点M的柱面坐标M在xOy面上的投影点P的极坐标为()设M(xyz)为空间内一点规定、、z的变化范围为柱面坐标与直角坐标的关系：柱面坐标系下以z轴为轴的圆柱面过z轴的半平面垂直z轴的平面用以上三组曲面分割Ω，得体积元素为柱面坐标系下三重积分为如何化为三次积分？——投影法1、求Ω在xoy面的投影区域;3、过做平行与z轴的射线，确定2、将化为极坐标：4、例6解Ω在xoy面的投影区域：化为极坐标：xozy例6将三重积分化为柱面坐标下三次积分解xozy（二）球面坐标设M(xyz)为空间内一点其中球面坐标与直角坐标的关系：则点M可以用一组数确定M在xOy面上的投影点为P，显然：球面坐标系下以原点为球心的球面以原点为顶点以z轴过z轴的半平面用以上三组曲面分割Ω，得体积元素为为轴的圆锥面球面坐标系下三重积分为如何化为三次积分？一般的，先确定Ω的，再，最后积分时，先积，再积，最后积例7将三重积分化为球面坐标下三次积分解xzyxzyxozy例6解xozy