高斯积分点

单元节点和积分点有什么区别学过数值积分的应该知道，有限元中的积分点指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度高。1、节点7_ZJ1Do}P(^在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。而节点值是在节点处的对应物理量。以简单矩形单元的温度为例：1n-]*}1pgI}四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn.则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为：T={Si,Sj,Sm,Sn}{Ti,Tj,Tm,Tn}Si=1/4(1-x)(1-y)Sj=1/4(1+x)(1-y)]q^Xv5uZSm=1/4(1+x)(1+y)Eg@0w4]
y6l.?-aSn=1/4(1-x)(1+y)MrS1T~6]R+d:C(单元的形函数我们可以从手册中查到)从而我们知道了温度在单元内的分布。2、积分节点5Gz)\\|我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y无关，我们只需要考虑对形函数积分。fX]r1O采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话，是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，但是这样做的话，对于工程实际应用来说并不合适（9WIF;c#jxNx原因：1，费时；2，Mindlin中厚板有剪力锁死问题，有时候需要采用缩聚积分），所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来，但是再复杂点的单元，就使用数值积分（Newton-Cotes积分和高斯积分）高斯积分的话，积分点不在节点上9BNV4L2K*o
?M牛顿-科斯的积分点就是节点，这样得到的质量矩阵是集中质量阵形式个人理解：1.节点作用构造形函数，节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况，并获取节点上的位移值m0DHC8Y.p5pM2.积分点作用是构造规则形状单元与曲边（曲面）单元的转化的变换函数，积分点的选取多少和选取的位置直接关系到这种“映射”-y-jA.|K7r的精确程度，刚度矩阵、边界条件的转化都用到了坐标变换的积分关系，一般取高斯积分点能使被积函数计算精度尽量高。对于newton-cote积分点的选取，这种“映射”看起来，节点和积分点是同一个位置或说是同一点，而对于高斯积分点位置与节点是不同的。故有如下结果：1.由于高斯积分点的这种变换比较高，在方程求解结束，返回积分点上的应力解比较准确2.至于Mindlin中厚板有剪力锁死问题，采用缩聚积分，也是应为这种坐标的变换关系（可见《有限单元法基本原理和数值方法》p345页10.4.11式可知），力的边界条件只有剪切，采用缩聚积分可以较大降低剪切力的影响，但是也可能引起刚度矩阵的奇异，所I以对于中厚板的积分点选取不同一般的方案1.ANSYS手册(Chapter13)上列出各种单元的积分点位置。2.王瑁成的《有限单元法》第五章，有解释为什么积分点应力更加精确。H
QEb7XrZ3.因为积分点应力更精确，所以我们一般采用积分点的应力内插或外延确定节点应力。特殊情况除外。单元节点和积分点是不同的两个概念！积分点是在进行函数积分的时候，为了增加精度，选取的积分点，也就是高斯积分
t}g8?@GoY7h单元节点是你选取单元的时候就已经定下的点，,?4_bk6|`一定有单元节点，但不一定有积分点在网格划分完了所有的节点就都给定了，就是你网格中的每个点，他是有限元模型中“真实存在”的点。但是高斯点纯粹是因为高斯积分这种积分方式引入的。数值分析告诉我们，数值积分有很多方法，比如辛普森积分，高斯积分等，比如说，如果你采用辛普森积分就不存在高斯点这个概念，只有当你采用高斯积分才会有高斯点，不过有限元大多都采用高斯积分。;看过高斯积分就知道高斯点是怎么一回事了。@:c有限元求解的结果是每个节点的位移，然后通过形函数插值得到单元任何一个点的位移，当然可以计算出高斯积分点的位移。至于应力，一般是先求解出高斯点出的应力，然后通过平均化的技术平均到每个节点上，高斯点处的应力精度最高，节点最差。