矩阵函数的性质及其应用

1矩阵函数的性质及其应用MatrixfunctionCalculusanditsapplication彭雪娇欧傅群岭南师范学院数学与计算科学学院，湛江524048摘要：矩阵函数理论是矩阵理论中的一个重要组成部分。矩阵函数把对矩阵的研究带入了分析领域，同时也解决了数学领域及工程技术等其他领域的计算难题。本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事倍功半的作用。在文章的末尾会简述矩阵函数的应用。Abstract:Matrixfunctiontothefieldofresearchintotheanalysisofthematrix,butalsosolvedthecalculationinthefieldofmathematicsandengineeringtechnology,andotherproblems.Inthispaper,fromtwoaspectsofpolynomialandexponentialmatrixfunctiontotwotypesofdefinitionsaregiven,startingfromthedefinitiontosomepropertiesandseveralcasesofmatrixfunction,theapplicationofminimalpolynomialtoundertakechoosingaccordingtoappropriateinthecalculation,havetheeffectofthewastedeffort.Attheendofthearticlewillbrieflydescribestheapplicationofmatrixfunction.关键词：矩阵函数;微分方程;Jordan标准型Keywords:matrixfunction;thedifferentialequation;Jordancanonicalform21引言矩阵函数定义的引出把矩阵理论延伸到分析的领域，从而使得对矩阵的研究又提升了一个新的层次，增加了新的手段，同时也使矩阵理论在数学，物理，工程技术等许多领域有了新的应用。为了讨论方便，给出以下定义和引理：定义1.1设nnAC的最小多项式为11()()...()smms，则称集合{s}ii（，m）为A的谱，记为A.定义1.2设nnAC的最小多项式为11()()...()smms，称(){()0,1,...1;1,2,...}ikiiifmis为函数()fz在A上的的谱值。记为()Af.定义1.3设nk{}nAC是一个矩阵序列，如果由它的部分和矩阵123n...nSAAAA构成的矩阵序列{}nS收敛，则称矩阵级数123n1......kkAAAAA收敛，否则成1kkA发散。定义1.4设nnAC，,0,1,2...,3,kaCk称230123a+a......kkIAaAaAaA为矩阵A的幂级数，记为0akkkA.引理1设()pz和()qz是两个复系数的多项式，则()=q()pAA的充要条件是3()pz和()qz在A的谱上有相同的值.引理2设123,,,...,n是s个互不相同的复数，123,,,...,smmmm是s个正整数，那么对任意给定的m个复数,0,1,2,...,1,1,2,...,,ijjfimjs必存在唯一的次数不超过m-1的多项式()pz，使得()(),0,1,2,...,11,2,...,.rjijjpfrmjs2矩阵函数的相关概念及其性质2.1矩阵函数的定义正如微积分学的幂级数理论一样，在矩阵分析中通常用矩阵幂级数表示矩阵函数。下面给出的是利用幂级数定义矩阵函数。定义2.1.1设()fz是复变量的解析函数，0()kkkfzaz的收敛半径为R，如果矩阵nnAC的谱半径()AR，则称0()kkkfAaA为A的矩阵函数。利用前言给出的两个引理，现在我们可以给出矩阵函数的多项式定义。定义2.1.2设()fz在A的谱上有定义，我们定义()=p()fAA，其中()pz是一个在A的谱上与()fz有相同取值的复系数多项式。2.2矩阵函数的性质性质1设nnAC，()()().fAAfAAAfA和可交换，即证明设矩阵多项式为01()...,.nnfAaIaAaA于是01()(...,)nnfAAaIaAaAA4210101...,(...,)().nnnnaAaAaAAaIaAaAAfA证毕。性质2函数和（或差）的矩阵等于矩阵函数的和（或差），即()()()()fgAfAgA。性质3函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即()()()()fgAfAgA。性质4若有可逆矩阵T,使1BTAT,则1()()fBTfAT。性质5设A是对称矩阵，函数()fz在()A上有定义，则()fA是对称矩阵。性质6设A是实对称矩阵，实函数()fz在()A上有定义，且对A的任一特征值，有()0f，则()fA是正定矩阵。证明由()fz是实函数，()fA是实对称矩阵，又因为()fA的特征值为()0(0,1,...,)ifin，其中(0,1,...,)iin是A的特征值，所以()fA是正定矩阵。证毕。下面给出一些常用的矩阵函数的基本性质：2.3常用矩阵函数的性质在这里主要是介绍以下几种常用的矩阵函数，01,,!AknnkeAACk20(1)cos,,(2)!kknnkAAACk210(1)sin,,(21)!kknnkAAACk分别称为矩阵A的指数函数，矩阵A的正弦函数，矩阵A的余弦函数。定理2.3.1对任意nnAC，5222(1)sin()sin,cos()cos;11(2)cossin,cos(),sin();22(3)cossin;(4);iAiAiAiAiAAiEAAAAAeAiAAeeAeeAAEee证明（1）按照sinA和cosA的定义直接验证即可。（2）根据Ate的定义，可得000(1)(1)!(2)!(21)!kkkiAkkkkkkieAAiAkkkcossinAiA同理，可得cossiniAeAiA.从而有11cos(),sin()22iAiAiAiAAeeAee成立。证毕。这个性质和普通的指数函数和三角函数性质相同。但由于矩阵的乘法不满足交换律，因此有一些一般函数满足的性质，对于矩阵函数不一定满足。例如：若ABBA，则上述公式可能不成立。如111100010010.,;100001001011,,;110111211211.ABABABBAABBAABABABBAeeeeeeeeeeeeeeeeeeee(3),(4)在此不作证明。定理2.3.2设,nnABC,若ABBA,则有(1);(2)sin()sincoscossin;(3)cos()coscossinsin;ABBAABeeeeABABABABABAB6证明（1）根据Ae的定义，有00222011()()!!1()()...2!1()()...2!1()!ABkkkkkABkeeABkkIABAABBABIABABABek（2）由定理2.3.1，可得()()11sin()()()2!2!iABiABiAiBiAiBABeeeeee1111()()()()2!222!sincoscossiniAiAiBiBiAiAiBiBeeeeeeeeABAB同理，可以证明（3）。证毕。根据定理2.3.2，很容易得到下面结论：推论2.3.122cos2cossin;sin2sincos.AAAAAB由于很多矩阵函数都是利用级数的形式来定义的，在实际应用时非常不方便，因此更希望将()fA所表示的矩阵具体计算出来，下面主要介绍矩阵函数的中常用的计算方法。3矩阵函数的计算3.１利用Hamilton-Cayley定理计算矩阵函数利用Hamilton-Cayley定理计算矩阵函数基本思想是：利用Hamilton-Cayley定理找出矩阵方幂之间的关系，然后化简矩阵幂级数，从而求出矩阵函数。定理１（Hamilton-Cayley定理）设nnAC()det(),fIA，则()0fA例3.1已知四阶矩阵的特征值分别为、­、0、0，求sinA、cosA.7解：由于2422det()()()IA,根据Hamilton-Cayley定理可得4220AA,从而有2222222...kkkAAA212223...(2,3,...)kKkAAAAk因此，210(1)sin(21)!kkkAAk321232232321332333333321(1)3!(21)!1(1)()3!(21)!11(1)()3!(21)!111(sin)3!3!11(sin)kkkkkkkkkAAAkAAAkAAAkAAAAAAA22202(1)(1)cos(2)!2!(2)!kkkkkkAAAIAkk22222222222221(1)2!(2)!111(cos1)2!2!12(cos1)kkkIAAkIAAIAIA3.2利用相似对角化计算矩阵函数设nnAC与对角矩阵相似，即存在矩阵nnPC，使得112(,,...,)nPAPdiag8则有100112000112              ()()(,,...,)((),(),...,()       )kkkkkkkkkkkknkkknfAaAPaPdiagaaaPdPfPiagffP同理，可得112()((),   (),.. .,())nfAtdiagftftftPP。例3.2已知233453442A，求Ate、sinA.解：由于det()(1)(2)(2)IA，容易求得存在1101011111,110011111PP使得1(1,2,2)PAPdiag因此有212tAttteePePe2222222222222ttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeee1sin1sinsin2sin2APPsin2sin1sin2sin1sin22sin2sin12sin2sin1sin22sin22sin2sin2.9这种方法的前提是矩阵A能对角化，但事实上有许多矩阵是不能对角化的。由于任意矩阵一定可以通过相似变换成一个Jordan标准型，因此下面介绍利用Jordan标准型来计算矩阵函数的方法。3.3利用Jordan标准型来计算矩阵函数定义3.3.1形如11iiiiiinnJ（1.1）的方阵称in为阶Jordan