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1.如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E分别是边AB、BC上的动点，且BD＝BE，连接CD，AE点M、N、P分别是CD，AE、AC的中点，设∠B＝α.（1）观察猜想在求的值时小明运用从特殊到一般的方法，先令α＝60°，解题思路如下：如图①，先由AB＝BC，BD＝BE，得到CE＝AD，再由中位线的性质得到PM＝PN，∠NPM＝60°，进而得出△PMN是等边三角形，∴＝＝.②如图②，当α＝90时，仿照小明的思路求的值.（2）探究证明如图③，试猜想的值是否与α（0°＜α＜180°）的度数有关，若有关，请用含α的式子表示出，若无关，请说明理由；（3）拓展应用如图④，AC＝2，∠B＝36°，点D、E分别是射线AB，射线CB上的动点，且AD＝CE点M，N，P分别是线段CD，AE，AC的中点，当BD＝1时，请直接写出MN的长.2.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.3.（1）问题发现如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝kAC，点D是AB上一点，DE∥BC.填空：BD，CE的数量关系为；位置关系为；（2）类比探究如图②，将△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°），连接BD，CE，请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为α，直线BD，CE交于点F，若AC＝1，AB＝，当∠ACE＝15°时，请直接写出BF的长.4.正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A，B重合），连接DP，将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N.问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1，线段AD，AP，DM之间的数量关系为；题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2，线段AD，AP，DM之间的数量关系为；②当点P在线段AB的延长线上时，如图3，请写出线段AD，AP，DM之间的数量关系并证明；问题拓展：（3）在①②的条件下，若AP＝，∠DEM＝15°，则DM＝.5.下面是数学王老师布置的一到课后思考题.已知：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与端点B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF.请判断CF、BC和CD的数量关系.小明思考了一会儿了，认为可以先证明△ABD≌△ACF（SAS），从而可得出CF、BC和CD的数量关系为.（请把正确答案填在横线上）（2）类比探究如图2，当点D在线段BC延长线上时，其他条件不变，请判断CF、BC和CD三条线段之间的关系，并说明理由.（3）解决问题如图3，当D在线段BC反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，正方形ADEF边长为2，对角线AE、DF相交于点O，并连接OC，并求OC的长.6.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB＝AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB＝k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.7.已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P.（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：①与△ACD全等的三角形是.②∠APB的度数为.（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想.（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD＝2时，请直接写出线段CE的最大值.8.（1）探索发现如图1，在△ABC中，点D在边BC上，△ABD与△ADC的面积分别记为S1与S2，试判断与的数量关系，并说明理由.（2）阅读分析小东遇到这样一个问题：如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，射线AM交BC于点D，点E、F在AM上，且∠CEM＝∠BFM＝90°，试判断BF、CE、EF三条线段之间的数量关系.小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决.填空：①图2中的一对全等三角形为；②BF、CE、EF三条线段之间的数量关系为.（3）类比探究如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点O，点E、F在射线AC上，且∠BCF＝∠DEF＝∠BAD.①判断BC、DE、CE三条线段之间的数量关系，并说明理由；②若OD＝3OB，△AED的面积为2，直接写出四边形ABCD的面积.9.（1）探究发现下面是一道例题及其解答过程，请补充完整.如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5.求∠APB的度数.解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP'，则△APP'为等边三角形.∵P′P＝PA＝3，PB＝4，P'B＝PC＝5，∴P'P2+PB2＝P′B2△BPP'为三角形∴∠APB的度数为.（2）类比延伸如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由.（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC.点P在直线AB上方且∠APB＝60°，试判断是否存在常数k，满足（kPA）2+PB2＝PC2.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.10.如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C重合，点E在对角线AC上.【问题发现】如图1所示，AE与BF的数量关系为；【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由；【拓展延伸】若点F为BC的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为.11.问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是.拓展探究：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度.12.【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数.（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为.【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2.请直接写出线段BE的长为.13.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD.（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长.14.如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F.另一边交CB的延长线于点G.（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立.请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值.15.如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝.（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长.16.（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系为.（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离.17.问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为.类比探究（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）.直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为.18.（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上.填空：①线段BD，CE之间的数量关系为；②∠BEC＝°.（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一直线上.请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明.（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3.将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接