数列放缩技巧

1/24数列放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求nkk12142的值;(2)求证:35112nkk.解析:(1)因为121121)12)(12(21422nnnnn,所以122121114212nnnknk(2)因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk奇巧积累:(1)1211212144441222nnnnn(2))1(1)1(1)1()1(21211nnnnnnnCCnn(3))2(111)1(1!11)!(!!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr(4)25)1(123112111)11(nnnn(5)nnnn21121)12(21(6)nnn221(7))1(21)1(2nnnnn(8)nnnnnnn2)32(12)12(1213211221(9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(nnnn(11)21212121222)1212(21nnnnnnn(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112nnnnnnnnnnnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123nnnnnnnnnnnn11112111111nnnnnnn(13)3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kkkkkk(15))2(1)1(1nnnnn(15)111)11)((1122222222jijijijijijiji例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222nnn(2)求证:nn4121413611614122/24(3)求证:1122642)12(531642531423121nnn(4)求证：)112(2131211)11(2nnn解析:(1)因为12112121)12)(12(1)12(12nnnnn,所以)12131(211)12131(211)12(112nnini(2))111(41)1211(414136116141222nnn(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531nnn,再结合nnn221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nnnnn12)1(21,所以容易经过裂项得到nn131211)11(2再证21212121222)1212(21nnnnnnn而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211nn例3.求证:35191411)12)(1(62nnnn解析:一方面:因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk另一方面:1111)1(143132111914112nnnnnn当3n时,)12)(1(61nnnnn,当1n时,2191411)12)(1(6nnnn,当2n时,2191411)12)(1(6nnnn,所以综上有35191411)12)(1(62nnnn例4.(2008年全国一卷)设函数()lnfxxxx.数列na满足101a.1()nnafa.设1(1)ba，，整数11lnabkab≥.证明:1kab.解析:由数学归纳法可以证明na是递增数列,故存在正整数km,使bam,则baakk1,否则若)(kmbam,则由101baam知0lnlnln11baaaaammm,kmmmkkkkaaaaaaa111lnln,因为)ln(ln11bakaakmmm,3/24于是bababakaak)(|ln|11111例5.已知mmmmmnSxNmn321,1,,,求证:1)1()1(11mnmnSmn.解析:首先可以证明:nxxn1)1(nkmmmmmmmmkknnnnn111111111])1([01)2()1()1(所以要证1)1()1(11mnmnSmn只要证:nkmmmmmmmmmnkmnkmmkknnnnnkmkk111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证nkmmnkmnkmmkkkmkk1111111])1[()1(])1([,即等价于mmmmmkkkmkk111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11mmkkmkkm而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nnna24,nnnaaaT212,求证:23321nTTTT.解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnnnnnnT所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111nnnnnnnnnnnnnnnnT12112123)12)(122(2231nnnnn从而231211217131311231321nnnTTTT例7.已知11x,),2(1),12(ZkknnZkknnxn,求证:*))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn证明:nnnnnnxxnn222141141)12)(12(11424244122,因为12nnn,所以)1(2122214122nnnnnxxnn所以*))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn二、函数放缩例8.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.解析:先构造函数有xxxxx11ln1ln,从而)313121(1333ln44ln33ln22lnnnnn因为nnnn311212191817161514131213131216533323279189936365111nnnnn所以6653651333ln44ln33ln22lnnnnnnn4/24例9.求证:(1))2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn解析:构造函数xxxfln)(,得到22lnlnnnnn,再进行裂项)1(1111ln222nnnnn,求和后可以得到答案函数构造形式:1lnxx,)2(1lnnn例10.求证:nnn1211)1ln(113121解析:提示:2ln1ln1ln1211ln)1ln(nnnnnnnnn函数构造形式:xxxx11ln,ln当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xxf1)(,首先:ninABCFxS1,从而,)ln(ln|ln11innxxinninnin取1i有,)1ln(ln1nnn,所以有2ln21,2ln3ln31,…,)1ln(ln1nnn,nnnln)1ln(11,相加后可以得到:)1ln(113121nn另一方面ninABDExS1,从而有)ln(ln|ln11innxxiinninnin取1i有,)1ln(ln11nnn,所以有nn1211)1ln(,所以综上有nnn1211)1ln(113121例11.求证:en)!11()!311)(!211(和en)311()8111)(911(2.解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(nenn解析:1)1(32]1)1(ln[nnnn,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(xxxxxxx(加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn解析:构造函数)1(1)1()1ln()(xxxxf,求导,可以得到:12111)('xxxxf,令0)('xf有21x,令0)('xf有2x,所以0)2()(fxf,所以2)1ln(xx,令12nx有,1ln22nn所以211lnnnn,所以)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn例14.已知112111,(1).2nnnaaann证明2nae.FEDCBAn-inyxO5/24解析:nnnnnannanna)21)1(11(21))1(11(1,然后两边取自然对数,可以得到nnnannaln)21)1(11ln(ln1然后运用xx)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路：nnnanna)2111(21nnnannaln)2111ln(ln21nnnna211ln2。于是nnnnnaa211lnln21，.22112211)21(111lnln)211()ln(ln11211111nnniniiininnaaiiaa即.2lnln21eaaann注：题目所给条件ln(1)xx（0x）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2nnnn来放缩：)1(1))1(11(1nnannann