自相关函数和自协方差函数

9.2.3自相关函数和自协方差函数上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性，不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如，随机信号X(t)分别在t1，t2时刻的随机取值X(t1)，X(t2)之间的关联程度如何，这种关联称为自关联。同样，我们也要研究两个随机信号X(t)和Y(t)数值之间的关联程度，这种关联性称为X与Y之间的互关联（下一小节介绍）。1．自相关函数(Autocorrelationfunction)自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2，的取值之间的相关程度。定义6实随机信号X(t)的自相关函数定义为（9.2.7）由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设,则有。所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t的函数，记为Rxx(t).2．自协方差函数(Autocovariancefunction)自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2，的取值之间的二阶混合中心矩，用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对与均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。定义7实随机信号X(t)的自协方差函数定义为（9.2.8）当时，有。显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔t的函数，记为Cxx(t),且有:(9.2.9)当均值时，有。当随机过程X(t)的均值为常数，相关函数只与时间间隔有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一维、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。3．平稳随机信号自相关函数的性质设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为，自协方差函数，则有如下性质：(1)(9.2.10)(9.2.11)即时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差。(2)(9.2.12)即当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数。(3)(9.2.13)即时的自相关函数、自协方差函数取最大值。(4)若，则其自相关函数也是周期为T的周期函数，即(9.2.14)(5)若均值，当时，与相互独立，有(9.2.15)即对于零均值的平稳随机信号，当时间间隔很大时，与相互独立，互不相关。