[2020高考]黄冈名师2020版高考数学大一轮复习5.2平面向量的基本定理及向量坐标运算课件理新人

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算(全国卷5年2考)【知识梳理】1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_______向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________.不共线λ1e1+λ2e2(2)基底:_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线2.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由____唯一确定,x,y因此把有序数对______叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=____________.AB(x,y)(x2-x1,y2-y1)3.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2).(2)若a=(x,y),则λa=__________.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则||=_________________.AB(λx,λy)222121xxyy4.平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔__________.x1y2-x2y1=0【常用结论】1.向量共线的充要条件有两种:①a∥b⇔a=λb(b≠0).②a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.2.两向量相等的充要条件:它们的对应坐标相等.3.注意向量坐标与点的坐标的区别:(1)向量与坐标之间是用等号连接.(2)点的坐标,是在表示点的字母后直接加坐标.(3)是用B点的横纵坐标减去A点的横纵坐标,既有方向的信息也有大小的信息,其向量位置不确定.(4)点的坐标含有横坐标和纵坐标,点是唯一的.AB【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同的基底下的表示是相同的.()(3)在△ABC中,设=a,=b,则a与b的夹角为∠ABC.()(4)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.()ABBC【解析】(1)×.因为一组不共线的向量可以作为一组基底,所以平面内的任意两个向量都可以作为一组基底错误.(2)×.由平面向量基本定理可知,平面内的任意向量都可以由一组基向量唯一线性表示,而同一向量在不同的基底下的表示是不同的.(3)×.由向量夹角的定义可知:a与b的夹角为∠ABC的补角.(4)√.因为λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,所以(λ1-λ2)a=(μ2-μ1)b,当λ1-λ2≠0时,a=b,所以a与b共线,与已知a,b不共线矛盾.21122.若=(1,2),=(3,4),则=()A.(2,2)B.(-2,-2)C.(4,6)D.(-4,-6)ABBCAC【解析】选C.向量加法法则可知:=+=(1,2)+(3,4)=(4,6).ACABBC3.在△ABC中,已知M是BC的中点,设=a,=b,则=________.BACAAM【解析】在△ABC中,因为M是BC的中点,由向量加法的平行四边形法则可知:答案:-ABACAM2BACA.22ab2ab题组二:走进教材1.(必修4P101A组T5改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x的值是()A.-6B.6C.9D.12【解析】选B.因为a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6.2.(必修4P101A组T2改编)已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)【解析】选D.根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).3.(必修4P102T3改编)设e1,e2是不共线的两个向量,且λ1e1+λ2e2=0,则λ1+λ2=________.【解析】因为e1,e2是不共线的两个向量,且λ1e1+λ2e2=0,所以λ1=λ2=0,所以λ1+λ2=0.答案:0考点一平面向量的坐标运算【题组练透】1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=()1232A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=(1,1)-(1,-1)==(-1,2).123212321133(,)(,)22222.(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)ACBC【解析】选A.=(3,1),=(-4,-3),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).ABACBCACAB3.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则||的最小值是()A.-1B.-1C.+1D.+12CPOAOBOP311113【解析】选A.设P(cosθ,-2+sinθ),则OAOBOP22cos2sin1?422cos2sin423cos()（）（）42331.4.已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点,且=,则||等于________.OD1(OAOBCB)2BD【解析】由==,知点D是线段AC的中点,故D(2,2),所以=(-2,2),故||=答案:2OD1(OAOBCB)21(OAOC)2BDBD222222.25.已知正△ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,则||2的最大值是________.3APPMMC，BM【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则B(-,0),C(,0),A(0,3),则点P的轨迹方程为x2+(y-3)2=1.设P(x,y),M(x0,y0),则x=2x0-,y=2y0,代入圆的方程得所以点M的轨迹方程为333203(x)22031(y)24，22331(x)(y)224，它表示以为圆心,以为半径的圆,所以所以=答案:33()22，122maxBMmaxBM223317(3)(0)2222，49.4494【规律方法】向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同.(2)向量坐标形式的线性运算类似于多项式的运算.(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结论推导过程与结果,加以区分.考点二平面向量基本定理及其应用【典例】(1)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()DEABADA.B.C.1D.5814516【解析】选A.所以λ=,μ=-,故λ2+μ2=.11111DEDADODADBDA22242113(DAAB)ABAD444，143458(2)在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且若=a,=b,则=()A.a+bB.a-bC.-a-bD.-a+bBD2DC，CE3EA，ABACDE1351213131213512131312【解析】选C.DEDCCE13BCCA3413(ACAB)AC341515ABAC.312312ab【一题多解微课】解决本题还可以采用以下方法:选C.不妨设∠BAC=90°,取直角坐标系xOy,设A(0,0),B(1,0),C(0,1),则a=(1,0),b=(0,1),由易知故=所以=-a-bBD2DC，CE3EA，DE15().312，DE13512121D(E(0334，），，），【规律方法】应用平面向量基本定理解题的一般策略(1)根据题意选准基底或建立直角坐标系.(2)结合平面几何知识,运用平面向量的线性运算,用基底或坐标表示所求向量.【对点训练】1.已知在△ABC中,点O满足=0,点P是OC上异于端点的任意一点,且则m+n的取值范围是________.OAOBOCOPmOAnOB，【解析】依题意,设(0λ1),由=0知所以由平面向量基本定理可知,m+n=-2λ,所以m+n∈(-2,0).答案:(-2,0)OPOCOAOBOCOC(OAOB),OPOAOB，2.在平行四边形ABCD中,E和F分别是CD和BC的中点.若其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.ACAEAF，【解析】选择作为平面向量的一组基底,则又于是得ABAD，11ACABADAEABADAFABAD22，，，11ACAEAF()AB()AD22，21 1,432.123123，解得所以，，答案:43考点三共线向量的坐标表示及其应用【明考点·知考法】向量共线的坐标表示,将向量共线问题运算简单化,因其运用广泛成为高考命题的热点,试题常以选择题、填空题的形式出现,考查利用共线求参数值,以及共线与其他知识的综合应用.命题角度1利用向量共线求参数问题【典例】已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m=________.【解析】因为a=(2,-1),b=(-1,m),所以a+b=(1,m-1).因为(a+b)∥c,c=(-1,2),所以2-(-1)·(m-1)=0.所以m=-1.答案:-1【状元笔记】已知向量共线求参数的方法:利用向量共线的充要条件得出关于参数的方程,解方程即可求出参数值.命题角度2解决含参数的共线综合问题【典例】已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则的最小值是()A.24B.8C.D.32xy8353【解析】选B.因为a∥b,所以-2x-3(y-1)=0,化简得2x+3y=3,又因为x,y均为正数,所以=(2x+3y)当且仅当时,等号成立.32xy321()xy319y4x19y4x(66)(122)83xy3xy，9y4xxy所以的最小值是8.32xy【状元笔记】与共线向量的综合问题,其关键点是如何利用共线的条件.【对点练·找规律】1.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a=b=c=若c∥则λ=________.(1,2)，(2,2)，(1,).2ab，【解析】因为2a+b=(4,2),c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以4×λ=2×1,解得λ=.答案:12122.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________.OAOBOC【解析】若点A,B,C能构成三角形,则向量不共线.因为=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.答案:k≠1ABAC，ABOBOAACOCOA3.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=________.【解析】因为a=(1,2),b=(2,3),所以λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3).因为向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,所以-7(λ+2)+4(2λ+3)=0.所以λ=2.答案:2思想方法系列9——向量中的数形结合思想【思想诠释】数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数