5.3-收敛性与稳定性

第五章常微分方程的差分方法5.3线性多步法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的线性多步法。二、教学内容及学时分配本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下：讲授内容：欧拉公式、改进的欧拉公式。三、教学重点难点1．教学重点：开型求解公式，闭型求解公式。2.教学难点：收敛性与稳定性。四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解五、正文线性多步法及其收敛性与稳定性、方程组与高阶方程1引言收敛性问题微分方程数值解法的基本思想是：通过某种离散化手段，将微分方程转化为差分方程（代数方程）来求解。这种转化是否合理，还要看差分问题的解ny，当0h时是否会收敛到微分方程的准确解(),nyx需要注意的是，如果只考虑0h，那么节点0nxxnh对固定的n将趋向于0x，这时讨论收敛性是没有意义的，因此，当0h时，同时n时才合理。定义：若一种数值方法对于任意固定的0nxxnh，当0h（同时n）时，有(),nnyyx则称该方法是收敛的。考察欧拉公式),(1nnnnyxhfyy（1）设1ny为在)(nnxyy条件下按欧拉公式计算的结果，))(,()(1nnnnxyxhfxyy（2）11)(nnyxy即为局部截断误差。)(2)(''2111yhyxyTnnn，存在常数C使211)(Chyxynn（3）考虑整体截断误差111)(nnnyxye（无)(nnxyy条件），由于111111)()(nnnnnnyyyxyyxy（4）（1）-（2）得：)))(,(),(()(11nnnnnnnnxyxfyxfhyxyyy由常微分方程李普希兹条件得：))(()1())(()(11nnnnnnnnyxyhLyxyhLyxyyy（5）由（3），（4），（5）式得21)1(ChehLenn递推得]1)1[()1(0nnnhLLChehLe又hLehL1，设Tnhxxn0（T为定数），则TLnhLneehL)1(故heLCeeeTLTLn)1(0若初值准确，则0h时0ne，欧拉公式是收敛的。进一步考察一般的单步法：所谓单步法，就是在计算1ny时只用到它前一步的信息ny。显式单步法的共同特征是，它们都是将ny加上某种形式的增量得出1ny，其计算公式的形式为：1(,,)nnnnyyhxyh，(,,)nnxyh称为增量函数，不同的单步法，对应不同的增量函数。定理：单步法满足条件|(,,)(,,)|||xyhxyhLyy（李普希兹条件），且设初值0y是准确的，即00()yyx，则该单步法是收敛的。2稳定性问题对于一个数值方法，即使是收敛的，由于初始值一般都带有误差，同时，在计算过程中还常常产生舍入误差，这些误差又必然会传播下去，对后续的计算结果都将产生影响，数值稳定性问题是讨论这种误差的积累和传播能否得到控制的问题。定义若用某一数值方法计算ny时，所得到的实际计算结果为ny，且由扰动||nnnyy引起以后各节点()mymn的扰动为m，如果总有||||,mn则称该方法是稳定的。一种数值方法是否稳定，不仅与该数值方法本身有关，而且还与微分方程的右端函数(,)fxy，以及步长h有关，因此稳定性问题比较复杂。为了简化讨论只考虑模型方程yy0，0(0)yy欧拉公式稳定性：1(1)nnyhyny处有扰动n，它的传播使节点1ny产生扰动1n，假设欧拉公式计算中不再引入新误差，则1(1)nnh如果原差分方程1(1)nnyhy的解不增长，即有1||||nnyy，就能保证欧拉方法的稳定性。1(1)nnyhy的解不增长，h需要充分小，使|1|1h。故欧拉方法是条件稳定的。隐式欧拉公式稳定性：11111nnnnnyyhyyyh由于0，恒成立111h，从而1||||nnyy，隐式欧拉公式是恒稳定的。3方程组与高阶方程（1）一阶方程组直接推广各种算法到方程组如'00'00(,,),()(,,),()yfxyzyxyzgxyzzxz令0nxxnh，,nnyz表示节点nx上的近似解。改进的欧拉公式为：预报11(,,)(,,)nnnnnnnnnnyyhfxyzzzhgxyz校正11111111[(,,)(,,)]2[(,,)(,,)]2nnnnnnnnnnnnnnnnhyyfxyzfxyzhzzgxyzgxyz四阶龙格－库塔方法为：1123411234112111211122312231222241[22]6[22]6(,,),(,,)(,,),(,,)2222(,,),(,,)2222(,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnhyyKKKKhzzLLLLKfxyzLgxyzhhhhKfxyKzLLgxyKzLhhhhKfxyKzLLgxyKzLKfxy334133,),(,,)nnnnnhKzhLLgxyhKzhL（2）化高阶方程为一阶方程组对'''''0000(,,)(),()yfxyyyxyyxy，引入新变量'zy即可化为一阶方程组：'00''00,()(,,),()yzyxyzfxyzzxy例将高阶方程y″-3y′+2y=0,y(0)=1,y′(0)=1化为一阶方程组小结本节课我们主要了解了改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。收敛性与稳定性需要大家熟练掌握。作业：课后习题9.