1.2-解三角形应用举例第三课时

（第3课时）1.2解三角形应用举例四川省平武中学两点之间不可通也不可视两点之间可视不可达两点都不可达求距离kABCABCbaaABCDa1121234测量不可到达长度2222cosABababCsin2sin(12)aABsin(12)sin1;sin(180123)sin(180124)aaACBC2222cos4ABACBCACBC测量垂直高度1、底部可以到达的；测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。2、底部不能到达的测量边CD，测量∠C和∠ADB，.sin,sin.sin.s(insin())CDAABCDD设在点C、D处测得A的仰角分别为α、β，CD=a，测角仪器的高度为h，试求建筑物高度AB．sinsinsin()ahCABEHG问题探究DsinABACh设在点A处测得点B、C的仰角分别为α、β，铁塔的高BC=a，测角仪的高度忽略不计，试求山顶高度CD．ABDcossinsin()a问题解决sinCDACC前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题.例1如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行54nmile后到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到达，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（角度精确到0.1°，距离精确到0.01nmile）分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB.解：在△ABC中，∠ABC=180°-75°+32°=137°，根据余弦定理，根据正弦定理，所以所以∠CAB≈19.0°，75°-∠CAB≈56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°方向航行，需要航行113.15nmile.22?67.554267.554cos137113.15AC，sinsinBCACCABABC，°sin54sin137sin0.3255113.15BCABCCABAC，练习甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？360DCBA解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，有BC=at，AC=at，3所以B=90°+30°=120°.60DCBAsinsinBCBCABAC由sinsinBCACCABB，得3sin12012.233atat因为0°∠CAB90°，所以∠CAB=30°.故∠DAC=60°－30°=30°.答：甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.例2在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高.103解：（法一）（用正弦定理求解）由已知可得在△ACD中，°°10330.sin2sin(==30==103=10484180)ACbCADDCADC，，，°°sin42sin2cos23cos2.215.因为，所以，即2=30所以°sin15.ADEAEAD所以在Rt△中，=60答：所求角为15°，建筑物高度为15m.22°°330.3.5315.3tan.3103.DExAEhACExhADExhxhhACEx2222（法二）（设方程求解）设=，=.在Rt△中，（10+）在Rt△中，（10）以上两式相减得，所以在Rt△中，2所以2=30，即=15答：所求角为15°，建筑物高度为15m.°°°230m103msin2.304sin4.1033cos223015.2sin6015.AExBACCADACBCADCDxACEADEAEAD（法三）（用倍角公式求解）设建筑物高为.由题意得∠，∠，，.在RT△中，①在RT△中，②②/①可得，即，所以答：所求角为15°，建筑物高度为15m.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况:（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.思考：某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？°13答案:巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追上走私艇.练习：课本16页练习题.作业：天府数学1.2应用举例2