选修4-5--绝对值不等式的解法专题讲解

数学选修4-5不等式选讲第一课看历届高考：11年（文科）11年（理科）看历届高考：12年（文科）12年（理科）看历届高考：13年（文科）13年（理科）看历届高考：14年（文科）14年（理科）密切关注中……同上看历届高考：15年（文科）15年（理科）期待中……一、绝对值不等式1、绝对值的定义|x|=x,x0－x,x00,x=02、绝对值的几何意义0x|x|x1x|x－x1|3、函数y＝|x|的图象y=|x|=x,x0－x,x00,x=0oxy11－1二、探索解法探索：不等式|x|1的解集。方法一：利用绝对值的几何意义观察方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论方法三：利用函数图象观察这是解含绝对值不等式的三种常用思路小结：不等式|x|a和|x|a(a0)的解集。①不等式|x|a的解集为{x|-axa}②不等式|x|a的解集为{x|x-a或xa}0-aa0-aa思考：|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法：基础练习1：解下列不等式：（1）|x|5（2）2|x|5（3）|2x|5（4）|x-1|5}55|{xxx或}2525|{xx}2525|{xxx或}64|{xx例1解不等式|3x-1|≤2练习：解不等式|2x-3|5。例2解不等式|2-3x|≥7练习：解不等式│2x-1│≥3例3：解不等式：（1）1|2x+1|≤3.（2）||x-1|-4|2.答案：（1）{x|0x≤1或-2≤x-1}（2）{x|-5x-1或3x7}(1)|32|7x≥(4)1|34|6x≤2(2)|3|4xx(3)|32|1x解:∵|32|7x≥∴237x≥∴237237xx或≥≤∴52xx或≥≤∴原不等式的解集为,25,.(1,4)(,0)(1,)2105(1,][,)333解下列不等式：课堂练习2：基础练习：解下列不等式：（1）|2x-1|5（2）|2x2-x|1（3）|2x-1|1}32|{xx}121|{xx}1|{xx解下列不等式：21|41|)1(x31|32|)2(x6|45|)3(x7|23|)4(x6|43|1)5(x作业1：4|3|)6(2xx1|23|)7(x（8）|6-|2x+1||1解不等式|5x-6|6–x解不等式|5x-6|6–x解：分析：对6-x符号讨论，当6-x≦0时,显然无解；当6-x0时,转化为-(6-x)5x-6(6-x)由绝对值的意义，原不等式转化为：6-x0-(6-x)5x-6(6-x)X6-(6-x)5x-65x-6(6-x)0x2进一步反思:不等式组中6-x0是否可以去掉有更一般的结论：|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)练习：|3x-1|x+3.1{|2}2xxx或:1346x解不等式课前练习.32,135,31032135310323103516436143143643143:故原不等式的解集为或解得或或即等式组原不等式等价于下列不解xxxxxxxxxx第二课型不等式的解法和）（cbxaxcbxax21125xx例解不等式x12-2-3ABA1B1①利用绝对值不等式的几何意义2.不等式有解的条件是()1.对任意实数x，若不等式|x+1||x2|k恒成立，则k的取值范围是（）()3Ak()3Bk()3Ck≤()3Dk≤43xxa()1Ba()1Da1()10Ca1()010Aa1125xx例解不等式②零点分区间法234xx练习：解不等式1125xx例解不等式312526,x-2-2,-2x12x-4,x1,32,yxxxy解法构造函数作出图象解集为yxO-32-2③构造函数法型不等式的解法和）（cbxaxcbxax2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法122:1,(1)(2)2,111,,1.1222212,(1)(2)2,1212,122(1,2).52,122,2,2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解不等式解当时原不等式可化为解得即不等式组的解集是当时原不等式可化为即显然成立所以不等式组的解集是当时原不等式可化为即所以不等式组例：252,.122215,,.22xx的解集是综上所述原不等式的解集是练习:1.解不等式|2x-4|-|3x+9|16135xxx或2.|x-1|2(x-3)3.|2x+1||x+2|X5X-1或x1作业:1346x（1）解不等式1052,1,.333解集为(2)234.xxR解集是(3)12215,.22xx解集是（4）解不等式|x－4|－|2x+5|1。{x|x－8或x－}.32第三课:①|x|a(a0){x|-axa}②|x|a(a0){x|x-a或xa}型如|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)xaxbc型如不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法1．(2012·山东济宁12月)若不等式|x－2|＋|x＋3|a的解集为∅，则a的取值范围为()A．a5B．a≥5C．a5D．a≤5D练习:2.(2013·重庆卷)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|a无解，则实数a的取值范围是.对于不等式恒成立求参数范围问题，类型及其解法如下：分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．不等式恒成立问题例1设有关于x的不等式lg(|x＋3|＋|x－7|)a.(1)当a＝1时，解此不等式；(2)当a为何值时，此不等式的解集是R.[解](1)当a＝1时，lg(|x＋3|＋|x－7|)1，⇔|x＋3|＋|x－7|10，⇔x≥7，2x－410，或－3x7，1010，或x≤－3，4－2x10，⇔x7或x－3.所以不等式的解集为{x|x－3或x7}．(2)设f(x)＝|x＋3|＋|x－7|，则有f(x)≥|(x＋3)－(x－7)|＝10，当且仅当(x＋3)(x－7)≤0，即－3≤x≤7时．f(x)取得最小值10.∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1.要使lg(|x＋3|＋|x－7|)a的解集为R，只要a1.练习:不等式|x+2|+|x-1|＞a2-2a对x∈R都成立，求实数a的取值范围．答案：-1＜a＜3，例2.(2012·湖南卷)不等式|2x＋1|－2|x－1|0的解集为.练习|2x+1||x+2|X-1或x1平方法|f(x)||g(x)|⇔[f(x)]2[g(x)]2.例3.(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝.【拓展演练1】(2012·东北四校第一次模拟)已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．(2)设f(x)＝|2x＋1|－|x－1|＝－x－2x－123x－12≤x≤1x＋2x1.故f(x)∈[－32，＋∞)，即f(x)的最小值为－32，所以f(x)≤log2a有解，即log2a≥－32，解得a≥24，所以a的取值范围是[24，＋∞)．【例4】(2012·东北哈三中等四校高三第二次联考)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．解析：(1)a＝－5时，|x＋1|＋|x－2|－5≥0，解得x≥3或x≤－2，所以定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)|x＋1|＋|x－2|＋a≥0恒成立，即|x＋1|＋|x－2|≥－a恒成立，设g(x)＝|x＋1|＋|x－2|，则g(x)＝2x－1x23－1≤x≤21－2xx－1，由g(x)的图象知g(x)min＝3，所以－a≤3，a≥－3.(2012·河南省郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝|x－a|－2|x－1|(a∈R)．(1)当a＝3时，求函数f(x)的最大值；(2)解关于x的不等式f(x)≥0.解析：(1)当a＝3时，f(x)＝|x－3|－2|x－1|＝－x－1x≥3－3x＋51x3x＋1x≤1，所以，当x＝1时，函数f(x)取得最大值2.(2)由f(x)≥0得|x－a|≥2|x－1|，两边平方得(x－a)2≥4(x－1)2，即3x2＋2(a－4)x＋4－a2≤0，得[x－(2－a)][3x－(2＋a)]≤0，所以，①当a1时，不等式的解集为[2－a，2＋a3]；②当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}；③a1时，不等式的解集为[2＋a3，2－a]．作业3:第四课高考回顾考题1（2004全国文）不等式1＜|x＋1|＜3的解集为考题2（2004辽宁文），(I)．解关于x的不等式|x-1|+a-10．3．(2011·陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析：令f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1x≤－1，3－1x2，2x－1x≥2，∴f(x)≥3.∵|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，∴a≤3.答案：(－∞，3]看历届高考：11年（文科）11年（理科）看历届高考：12年（文科）12年（理科）看历届高考：13年（文科）13年（理科）绝对值的三角不等式：定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。.)()(cbayx例1、已知，求证2,2cbycax2．(2011·江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：55．(2012·江苏高考)已知实数x，y满足：|x＋y|＜13，|2x－y|＜16，求证：|y|＜518.解：因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|＜13，|2x－y|＜16，从而3|y|＜23＋16＝56，所以|y|＜518.[例3]设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.[证明]因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3.即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc，而3abc＋abc≥23abc·abc＝23.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.作业4: