蜜蜂周报第2期(0323-0329)

每周日发布●手写过程●多个教师教研群的精彩解题片断蜜蜂周报第2期（2020年3月23-29日）齐建民编著前言蜜蜂称得上是“动物界的数学家”，他们所筑的巢是严格的六角柱形体，给了人类诸多启发，同时蜜蜂也是勤劳精神、奉献精神的代表。这都与现在网络上无数的数学老师极其相似，他们每天在QQ群，微信群等各个角落里不辞辛苦地做着题，研究着数学教学，乐此不疲，我有幸每天都能看到各种各样的题目被分析着研究着，从这个群转到那个群……，于是就想如果能把这些好题集合在一起应该是一件对师生都有益的事，所以决定做一个周报，并命名为“蜜蜂周报”（特别感谢南京巫平老师的创意）。为了让读者更加了解这本电子杂志，特做如下说明：（1）周报中收录的题目围绕高考，适合高中师生阅读；（2）本人视野与水平有限，所以收录的题目并非个个精品，请读者理解；（3）题目主要来自中国数学解题研究会(QQ群号47224687，付费进入)，还有一些来自其他社群、公众号，有些我觉得不错的网络资源也一并收录；（4）为便于读者浏览，我对题目难度进行了标注，难度从1星到5星依次递增，这与本人水平有关，或许与你的标准不同；（5）标注*的为未解决或未收集到答案的题目；（6）试题与解答皆来网络，因数量太大不能一一注明出处。如网友对收录有异议请与本人联系；（7）文末的“每周观点”为本人或网友对数学教育的观点摘抄；（8）由于水平和时间有限，本人不对内容的权威性负责，个别题目本人做了点评或扩展，合适与否请读者自鉴；（9）周报接受投稿，欢迎网友把你看到的好题或观点发给我，发挥互联网的力量；这个周报首先是我个人的数学学习笔记，成已达人，无意间我也要做一只小蜜蜂，在各个社群之间飞来飞去，集众人智慧，采百家之长，汇于一记！本周报每周日20点首发于中国数学解题研究会，如您认为有价值，欢迎转发去影响更多的人！齐建民（QQ:350601384）作者简介齐建民，网名三下五除二在体制内任教多年高中数学2014年加入学大教育集团，先后就职于呼和浩特分公司、郑州分公司2017年始任集团教研总监2020年始任学大教育唐山分公司教研总监2020年第2期目录1.圆上自由端点向量数量积最值问题（四星）.............................................................................12.导数解题中的同构（四星）.........................................................................................................83.外接球半径问题（三星）...........................................................................................................264.网红题-求三角形周长最值（五星）..........................................................................................285.二元最值问题（三星）...............................................................................................................326.与重心、外心有关的最值问题（四星）...................................................................................347.想不出求最值的方法，就用它——设K大法（三星）...........................................................368.定弦定角四面体，分隔开来求体积——四面体体积的最值（三星）...................................439.代数与几何的解法互译——三角形面积最大值（三星）.......................................................4610.一定两动成定角，平行四边形对角线最值问题（五星）.....................................................4911.一顿操作猛如虎，慧眼识别基本图—翻折问题中的最值（四星）.....................................5312.一笔能画出几个四边形——四边形面积最大问题（三星）.................................................5513.已知和未知都很简洁的二元最值（三星）.............................................................................6214.两个形同质异的向量最值问题（三星）.................................................................................6215.主角在哪儿，你找到了吗——辅助角公式的高级运用（五星）.........................................6316.平几味道很浓的最值问题（五星）.........................................................................................6617.自由的点，不自由的平方和——圆上的最值问题（五星）..................................................6718.矩形四个顶点相关的最值问题(*五星).....................................................................................6819.下标你能否看懂？这是一个考理解的题（四星）.................................................................70每周观点...........................................................................................................................................7111.圆上自由端点向量数量积最值问题（四星）题目23一个有关系的问题4567这个题，与《蜜蜂周报第一期》中的第24题有一点关系，从命题角度来看，可以看成一个命题体系里的子母题。就是下面这个题。解法不再重复，有兴趣的读者去第一期看。82.导数解题中的同构（四星）（来自公众号“数学研讨”）在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型，即不等式两边对应的同一函数，无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程）9这些变形新宠是近年来因为交流的频繁而流传开来的．对解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来极大的便利．一、变形基本功101112二、唯有套路得人心13例5，原文没有；141516171819三、再来一个系列2021222324还有两个题，貌似现在根据同构来命制的试题好多，眼中处处是同构！25263.外接球半径问题（三星）27284.网红题-求三角形周长最值（五星）这个题有2个条件，边，角各一个，而求解的是周长也是关于边的，所以解题步骤要分为两步；第一步，根据角的条件，来确定这个三角形的形状（比如某个角的度数），这一步有几种方法：29第二个事是求周长3031325.二元最值问题（三星）法1：设k大法法233346.与重心、外心有关的最值问题（四星）选D这是我的简解如下：35说明:（1）上面的解法中①处用到一个方法，就是把5换成了字母c，这样就可以用正弦定理了（当然，不这么做，也可以做，只不过计算量会大些）。这种技巧在《蜜蜂周报第一期》的第八题里也有应用。感兴趣的读者可以去对比。（2）本题实际用到一个恒等式：在△ABC中，G是中心，O是所在平面一点，则有：1()3OGOAOBOC下面是一位老师的手写解法解答。367.想不出求最值的方法，就用它——设K大法（三星）（来自公众号“雷鼎数学”）万能k法的三个步骤：1，求谁设谁即求谁的最值就设谁为k；2，带入整理带入整理，整理成某个变量的一元二次方超（此时可能有多个变量并存，选一个为主元即可）；3，确认取值令方程有解，判别式≥0即可求出最值（有的情况下需要对判别式再次令其有意义再继续求判别式）例题1（2011浙江高考）若实数,xy满足221xyxy，则xy的最大值是.解：1，求谁设谁令xyk，则ykx；2，带入整理得到关于x的二次方程2210xkxk；3，确认取值224(1)0kk，得232333k，故最大值为233.本题的基本不等式解法如下：37若将系数1改变，则基本不等式失效，但设k法仍然可以，比如：若实数,xy满足221xyxy，则2xy的最大值是.（2）例2已知实数,,abc满足2220,1abcabc，则a的最大值是.解：依然遵循“求谁设谁”，设a=k即可，例题3需要注意的是，第二步，设了k后，怎样与条件结合起来构造方程，并不总是“代入”条件，有时这是不可行的，因为你解不出某一个变量（用k和其他变量表示它），这时候可能用到其他方法，比如相乘；38例题4说明：实际上，这种“万能设k法”，其实和基本不等式中老师们经常说的“1的代换”有关系，可以说本质相同，只是叫法不同。例如例题：已知2x＋2y＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为()．A．1B．2C．4D．8【答案】D【解析】∵x＞0，y＞0，39∴x＋y＝(x＋y)·2x＋2y＝4＋2xy＋yx≥4＋4xy·yx＝8.当且仅当xy＝yx，即x＝y＝4时取等号．故选D如果用设k大法，就是设x＋y=k，则22()()kxyxy例题：已知01x，0a，0b，求221abyxx的最小值.【答案】2()ab【解析】2222[(1)]11ababyxxxxxx22222222222(1)(1)22()11axbxaxbxabababababxxxx当且仅当22(1)1axbxxx，即axab时等号成立故2min()yab求谁设谁，可以很直接，比如上面的题，直接设所求式为221abkxx，这就完成了构造一个含x的二次方程，判别式即可；与“1的代换”相比较，我们要说，其实不止是“乘1”可以，“乘k”也是可以的，主要目的是靠乘来获得一个新的代数结构，比如：关于设k大法，我们还要说的是，它的适用范围很广，只要本质上是代数问题的最值40问题都可以用，比如2011新课标全国卷填空题16题：部分解答提示411、2、3、42438.定弦定角四面体，分隔开来求体积——四面体体积的最值（三星）如果知道四面体的一个体积公式，这个题可以更快点解决：如果一个四面体的两条对棱长分别是a，b，（异面直线）距离是d，所成的角是斯塔，那么它的体积是：1sin6Vabd（现在课本删去了两条异面直线的距