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蜜蜂周报第五期周日发布●手写过程●多个教师教研群的精彩解题片断蜜蜂周报第5期（2020年4月13日-4月19日）齐建民编著蜜蜂周报第五期关于数学解题学习的几个关键词联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。——笛卡尔反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。——波利亚分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里记忆，便于你解题时进行检索，确定解题方法。——沃兹基硕德蜜蜂周报第五期前言蜜蜂称得上是“动物界的数学家”，他们所筑的巢是严格的六角柱形体，给了人类诸多启发，同时蜜蜂也是勤劳精神、奉献精神的代表。这都与现在网络上无数的数学老师极其相似，他们每天在QQ群，微信群等各个角落里不辞辛苦地做着题，研究着数学教学，乐此不疲，我有幸每天都能看到各种各样的题目被分析着研究着，从这个群转到那个群……，于是就想如果能把这些好题集合在一起应该是一件对师生都有益的事，所以决定做一个周报，并命名为“蜜蜂周报”（特别感谢南京巫平老师的创意）。为了让读者更加了解这本电子杂志，特做如下说明：（1）周报中收录的题目围绕高考，适合高中师生阅读；（2）本人视野与水平有限，所以收录的题目并非个个精品，请读者理解；（3）题目主要来自中国数学解题研究会(QQ群号47224687，付费进入)，还有一些来自其他社群、公众号，有些我觉得不错的网络资源也一并收录；（4）为便于读者浏览，我对题目难度进行了标注，难度从1星到5星依次递增，这与本人水平有关，或许与你的标准不同；（5）标注*的为未解决或未收集到答案的题目；（6）文中的超链接均可点开浏览；（7）试题与解答皆来网络，因数量太大不能一一注明出处。如网友对收录有异议请与本人联系；（8）文末的“每周观点”为本人或网友对数学教育的观点摘抄；（9）由于水平和时间有限，本人不对内容的权威性负责，个别题目本人做了点评或扩展，合适与否请读者自鉴；（10）周报接受投稿，欢迎网友把你看到的好题或观点发给我，发挥互联网的力量；这个周报首先是我个人的数学学习笔记，成已达人，无意间我也要做一只小蜜蜂，在各个社群之间飞来飞去，集众人智慧，采百家之长，汇于一记！本周报每周日20点首发于中国数学解题研究会，如您认为有价值，欢迎转发去影响更多的人！齐建民（QQ:350601384）蜜蜂周报第五期作者简介齐建民，网名三下五除二在体制内任教多年高中数学2014年加入学大教育集团，先后就职于呼和浩特分公司、郑州分公司2017年始任集团教研总监2020年始任学大教育唐山分公司教研总监蜜蜂周报第五期2020年第5期目录1.无中生有，移花接木——几种双变量问题中的换元法.............................................................12.若即若离——椭圆与圆的公共点问题.........................................................................................43.这个镇在地图上找不到，但是题不错（阿氏圆）...................................................................104.台球不是玩的，看看就行了.......................................................................................................175.有点神奇，不确定的长方体，固定的线段比例.......................................................................216.样子怪的题的往往很难——三元条件最值...............................................................................257.小巧玲珑的题——角分线长度...................................................................................................278.一个二维到三维的类比——二面角的正切...............................................................................289.辅助角公式的又一次高级应用——兼记一道题的延伸...........................................................2910.这是个易错题？——导数构成的分式型不等式......................................................................3211.从距离到距离——直线和抛物线的最值问题.........................................................................3512.难以回避的三次方程？看起来常规的抛物线问题.................................................................3713.经久不衰的命题载体——正方体又出现了..............................................................................40《蜜蜂周报》1-4期下载方式........................................................................................................43蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期11.无中生有，移花接木——几种双变量问题中的换元法为什么我在开篇《关于数学解题学习的几个关键词》要提到“分类”这个关键词呢，就是因为，这首先是我的个人感受，一个很深刻的感受。至少作为一个数学老师，你做的题越多，你就越不自觉地进行着分类，对一些有意思的现象（解题经验）进行着“分类汇总”，这种行动开始可能是“不成熟的”，不成体系的，没关系，随着你的解题经验，你遇到的问题的数量增多，这种分类就越发成形。总能听到有老师对学生说——你要注意总结！总结是什么，其实总结就是分类，对题目进行分类，对解法进行分类，只要你认为稍有关联的现象就可以放在一起。下面的内容，就是我在最近遇到的几个题，我的一点思考。下面这个题，出现在《蜜蜂周报》第四期的15题，这个方法的特点是：注意到了所求式子的特点，是两个因式相乘的形式，而这两个因式结构上又有关系，联立起来恰好可以求出x，y，所以这样就把原来关于x，y的二元变量换蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期2为关于a，b的二元变量问题。旧的变量走了，来了新的变量，更重要的是，有了新变量的参与，目标函数的代数结构发生了不小的变化，导致产生的新问题是比原来的问题容易解决了！再看一例：这个题出现在《蜜蜂周报》第四期的第3题：在那期中，这个题是为了说明“恒等式法”而举的例子，当然，它的解法应该很多，恒等式法也不是最简洁的方法，这些不细说。蜜蜂周报第四期发布的当晚，有个学生说他有另外一种解法：蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期3我重新打了一下：因为223acac，所以设,axycxy，带入原式，得22113xy，然后三角换元，3cossinxy，则目标函数变为2333cossin27sin()27acxy！你看，也是一种换元法。可见，就二元最值问题，换元有两种：（1）将已知中的变量换元；（2）将目标函数中的两个代数式换元；蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期42.若即若离——椭圆与圆的公共点问题最初是看到这个题解法如下蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期5两个公共点的类似题蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期6一个类似题，椭圆与圆有四个公共点蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期7蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期82016浙江那道高考题的解法，来自兰琦大神的公众号蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期9蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期103.这个镇在地图上找不到，他们喜欢阿氏圆我们看2020年苏锡常镇一模的14题。这个“镇”的模拟题经常有一些比较高质量的，有意思的题目。如果你对高考题比较熟悉，这个题已经条件中的某个结构会让你立马想起某年的高考题。先贴一下洪老师的向量法：蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期11洪老师的向量的解法依据代数关系，具有一般性。实际上，这里有一个隐含关系——O是CD的中点，这个用平面几何的方法证明，如下：得到OC=OD后，这相当于增加了一个已知条件，解法就比较多了。因为易知4ABCBODSS，所以问题就转化为求△BOD面积的最大值。原题条件：4,,2,2ABADBDAEECOBOC，求ABCS最大值现在的问题变成了：2,2BDOBDO，求ABCS最大值。蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期12这就是一个比较常规的问题了，高考也考过。就是下面这个：利用阿氏圆解法比较简单，如下：仍然是以OC=OD为条件，有人还给出了下面的解法：这个解法中也可以这样得到：sin20sin12322cos32cos4（构造单位圆，数形结合利用斜率）还有个解法蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期13相关题：（这个题也是根源于2008江苏高考13题）蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期14蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期15蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期16（以上信息来源：作者张培强老师——已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值）蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期174.台球不是玩的，看看就行了一个清晰的图这是个不错的题。至于台球这个背景——有没有都行。条件比较新颖，也不是很难，解法还挺多，这就是一个好题了。蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期18向量法很赞，有一种“直捣黄龙”的气势！蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期19下面这个方法，是最简洁的，把所有条件都放进一个三角形了！有老师进行了解法的整理：上面是解法的探寻。蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期20后来我又多想了一点：这样的正方形存在吗？我们在解题的时候，都是画的示意图，是按存在做的。于是我试了画了一下，徒手画感觉总是画不出这个正方形，搞不清它是怎么待着的，可能是因为误差比较大吧，后来就用几何画板，因为不会把线段固定长度，角度固定，只能是近似的画，所以多少还有有误差。似乎是存在的。心里还不太放心。然后我想，能否从代数角度，进行严格论证，是否存在这个正方形？之所以对这个问题感兴趣，其实是因为我非常好奇——命题者是怎么把这个题编出来的，是经过了什么顺序，流程？他怎么保证在各种条件下这个题的科学性。于是，经过几次探索，我发现有一个基本的现实，我给忽略了，就是，现在这个图形里各个边和角都是可以算出来的，这一算才发现。。。。它是这么一个特殊的结构，有直角，有30度，60度，于是，就有了下面的推理：应该说这个题的数据设计的还是很巧的，O那里恰好就是直角。相关角度都比较好算。好算，就好验证存在性。这样就从理论上证明了这个正方形的存在。蜜蜂周报第五期蜜蜂周报第五期215.有点神奇，不确定的长方体，固定的线段比例我选中这个题的原因是：看完了题，我比较惊奇，在长方体中，没有给出任何长度，这个比值竟然是定值。看来这里一定存在着什么秘密。我的解法算是传统方法，直接作出交点O,需要比较多的平面几何