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蜜蜂周报第10期1/51每周日在公众号“解题研究会”发布●老师手稿展示解题心路历程蜜蜂周报第10期（2020年5月18日-5月24日）齐建民编著蜜蜂周报第10期2/51关于数学解题学习的几个关键词联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。——笛卡尔反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。——波利亚分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里记忆，便于你解题时进行检索，确定解题方法。——沃兹基硕德蜜蜂周报第10期3/51前言蜜蜂称得上是“动物界的数学家”，他们所筑的巢是严格的六角柱形体，给了人类诸多启发，同时蜜蜂也是勤劳精神、奉献精神的代表。这都与现在网络上无数的数学老师极其相似，他们每天在QQ群，微信群等各个角落里不辞辛苦地做着题，研究着数学教学，乐此不疲，我有幸每天都能看到各种各样的题目被分析着研究着，从这个群转到那个群……，于是就想如果能把这些好题集合在一起应该是一件对师生都有益的事，所以决定做一个周报，并命名为“蜜蜂周报”（特别感谢南京巫平老师的创意）。为了让读者更加了解这本电子杂志，特做如下说明：（1）周报中收录的题目围绕高考，适合高中师生阅读；（2）本人视野与水平有限，所以收录的题目并非个个精品，请读者理解；（3）题目主要来自中国数学解题研究会(QQ群号47224687，付费进入)，还有一些来自其他社群、公众号，有些我觉得不错的网络资源也一并收录；（4）为便于读者浏览，我对题目难度进行了标注，难度从1星到5星依次递增，这与本人水平有关，或许与你的标准不同；（5）标注*的为未解决或未收集到答案的题目；（6）文中的超链接均可点开浏览；（7）试题与解答皆来网络，因数量太大不能一一注明出处。如网友对收录有异议请与本人联系；（8）文末的“每周观点”为本人或网友对数学教育的观点摘抄；（9）由于水平和时间有限，本人不对内容的权威性负责，个别题目本人做了点评或扩展，合适与否请读者自鉴；（10）周报接受投稿，欢迎网友把你看到的好题或观点发给我，发挥互联网的力量；这个周报首先是我个人的数学学习笔记，成已达人，无意间我也要做一只小蜜蜂，在各个社群之间飞来飞去，集众人智慧，采百家之长，汇于一记！本周报每周日首发于中国数学解题研究会，如您认为有价值，欢迎转发去影响更多的人！齐建民（QQ:350601384）关注公众号，蜜蜂每周到解题研究会QQ群（面向高中数学教师）解题研究会公益辅导QQ群（面向学生）蜜蜂周报第10期4/51作者简介齐建民，网名三下五除二在体制内任教多年高中数学2014年加入学大教育集团，先后就职于呼和浩特分公司、郑州分公司2017年始任集团教研总监2020年始任学大教育唐山分公司教研总监蜜蜂周报第10期5/512020年第10期目录1.示意图画的不对就做不出来？.....................................................................................................12.五个条件各有用途——以阿基米德折弦定理为背景的一道题.................................................53.三个就要比一个难一点——指数不等式的整数解问题.............................................................84.取点的问题——2018高考二卷文科21题................................................................................115.三次函数切线平行的两点有何关系...........................................................................................176.临界状态命题——柯西不等式取等条件...................................................................................197.正四面体、球、圆都齐了...........................................................................................................198.不要随便放缩——条件有点特殊的解三角形...........................................................................209.含参的不等式组问题....................................................................................................................2210.转化有点特别的椭圆定值问题.................................................................................................2311.四边形是由三角形构成的.........................................................................................................2312.这不是高中的题——等边三角形折叠问题.............................................................................2613.你可以叫它翅膀模型——三棱锥外接球.................................................................................2714.二面角型的外接球问题.............................................................................................................3115.一个不太一样的抽象函数导数问题.........................................................................................3416.单位向量有什么特殊？对，它就是特殊！.............................................................................3717.三角化简求值及无字证明.........................................................................................................4118.姑且把这种解法叫“类穿根法”................................................................................................44《蜜蜂周报》1-9合订本下载........................................................................................................46附录...................................................................................................................................................46蜜蜂周报第10期1/51蜜蜂周报第10期1/511.示意图画的不对就做不出来？这个题，我一开始是这样画示意图的，搞半天没出来。蜜蜂周报第10期2/51蜜蜂周报第10期2/51后来看到其他老师的解法，哦，他们画的图竟然和我的不一样！蜜蜂周报第10期3/51蜜蜂周报第10期3/51最简单的方法可能是下面这种：蜜蜂周报第10期4/51蜜蜂周报第10期4/51坐标法也可以。一个老师对确定E点位置的解释。但是我没有明白的是，对解题来说，画示意图只是开始解题的初始步骤，是在初步理解问题，我们是不可能画很多功夫去判断示意图应该怎么画的，那已经进入到解题的步骤中了，况且这个题去解释E的位置也不是那么显然的？那怎么办呢？只好靠运气了，我那种画法，解不出来，是不是就换一种画法。刘彦永老师指出此题与下面的公式有关。这个公式可以由斯特瓦尔特定理推导出来。蜜蜂周报第10期5/51蜜蜂周报第10期5/512.五个条件各有用途——以阿基米德折弦定理为背景的一道题这个题条件很多，很奇怪，一看就来者不善，其中那个条件：AB+BE=CE，让我一下就想到前一阵遇到的那个平几味道很浓的题（在第六期，第七期都连续收录），文章名字叫《一个平几味道很浓的解三角形问题》，这个题：蜜蜂周报第10期6/51蜜蜂周报第10期6/51但是这两个问题，只是那一处条件比较像，其他地方好像都用不上。这怎么和圆发生联系呢？最后，有老师指出，这个题的背景是“阿基米德折弦定理”，这是一个我不知道的定理。这样就明白了，那几个看似很奇怪的条件，都是干什么用的，都是为了保证满足这个定理的适用条件。后来还是洪老师给出了完整解答。前半部分相当于证明了这个定理的逆定理。蜜蜂周报第10期7/51蜜蜂周报第10期7/51刘登成老师给出了另一个解法。对四点共圆方法不一样。适用的方法就和第七期那个平几味道很浓的题的解法有关系了，都是延长CB，做出一个等腰三角形来，只不过这次是为了证明共圆。我得承认，这个题用到了很多平面几何的知识、思维方式，而我是不擅长平几的，所以这样的题做起来就吃力，甚至可以说是“自讨苦吃”。我现在做题，基本上过滤的比较少，除非我看不懂条件的，都会思考一两下。不过好在身边有一些比较厉害的老师能解答出来，在这个过程中自己还是能学到一些东西的。蜜蜂周报第10期8/51蜜蜂周报第10期8/513.三个就要比一个难一点——指数不等式的整数解问题本题的标答如下。（图中减号应为等号）这个答案，我研究半天，又画图的，也搞不明白那个h(-6),h(-5)是怎么保证3个整数解的。下面的解法由刘登成老师提供：蜜蜂周报第10期9/51蜜蜂周报第10期9/51后来看了刘登成老师的解答才明白。我忽略了一个至关重要的位置，就是切线。所以才有-5，-6那个不等式组。那个切点是个非常重要的位置，一下就确定了三个整数解是-3，-4，-5.类似题（也可以说是本题的源头）2015年1卷理科12题蜜蜂周报第10期10/51蜜蜂周报第10期10/51蜜蜂周报第10期11/51蜜蜂周报第10期11/514.取点的问题——2018高考二卷文科21题这个题刚一看到的时候，我并不知道是2018年高考题。这几年也很少做题主要。后来搜索文献才知道是高考真题。是那年的二卷文科。但从难度上看，我觉得不亚于那些用指对数编制的理科试题，因为它也用到了“取点”这个技术。首先，叶超杰老师给出了他的解答，并且写了一个文笔很赞的对取点进行阐述的文章。蜜蜂周报第10期12/51蜜蜂周报第10期12/51蜜蜂周报第10期13/51蜜蜂周报第10期13/51蜜蜂周报第10期14/51蜜蜂周报第10期14/51蜜蜂周报第10期15/51蜜蜂周报第10期15/51接