中考数学状元笔记及知识点集

1中考状元数学笔记知识点汇总一、实数（一）有理数1、有理数分类：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数2、数轴：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴3、相反数如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。4、倒数如果两个数之积为1，则称这两个数为倒数5、绝对值①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是它的相反数/0的绝对值是0。（二）实数1、实数分类：①有理数→整数/分数②无理数(无限不循环小数)2、平方根：①如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。②一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。③求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。3、算术平方根如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根4、立方根：①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。5、乘方性质正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。6、实数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数。混合顺序①先算乘方，再算乘除，最后算加减②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，先小再中后大运算律：①a+b=b+a②(a+b)+c=a+(b+c)③ab=ba④(ab)c=a(bc)⑤(a+b)c=ac+bc7、科学记数法:把一个整数或有限小数表示成±a×10n的形式，其中n是整数。8、近似数①四舍五入法②进一法③去尾法9、有效数字从左边第一个不是0的数学起，到末位数字为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。如：28.70万有4个有效数字；0.30120有5个有效数字。10、非负数11、零指数次幂、负指数次幂二、代数式1、分类：代数式→有理式与无理式；有理式→整式\分式；整式→单项式\多项式。2、整式概念①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。3、整式运算：（1）整式的加减：如果遇到括号先去括号，再合并同类项。整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。乘法公式：①（a+b）（a-b）=a2-b2②(a±b)2=a2±2ab+b2整式的除法：①单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。幂的运算公式：①·=;②÷=;③=;④=;⑤mananmamananmanma)(mnanab)(nanb4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式（2）方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法（一提二套三分组）5、分式概念及性质：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，（注意：对于任何一个分式，分母不为0）②性质10基本性质：20符号法则：6、分式的运算：①加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。②乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。③除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。7、二次根式①性质②运算加减：化成同类二次根式，再合并。乘法除法：③最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。④同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。⑤有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化因式。如：0a0a20a0a1(0)a其中1(ppapa为正整数,a0)nnnbaba)((0)ammbmbaababab(0,0)ababab(0,0)aaabbb(0,0)ababab(0,0)aaabbb2()(0)aaa2aa,,aaababaxbyaxbymm与与与2⑥分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式）三、方程（一）一次方程1、概念①等式：用等号连接的两个式子叫等式②方程：含有未知量的等式叫做方程。③方程的解：能够使得方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。④一元一次方程：方程化为最简形式后，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。⑤二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程叫二元一次方程。⑥二元一次方程组的解：能使二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值，叫这个二元一次方程的一组解。2、等式性质①等式左右两边都加上或减去同一个数或同一个整式，结果仍然是等式②等式左右两边都乘以或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式。3、一元一次方程的解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1（注意：去分母最小公倍数；移项变号）4、二元一次方程组的解法：①代入消元法②加减消元法。5、列方程解应用题：（1）步骤：审、设、找、列、解、答（2）类型：①和差倍分问题②等积变形问题③行程问题→相遇问题/追及问题/顺逆流问题④劳力调配问题⑤工程问题⑥利润率问题⑦数字问题⑧储蓄问题⑨比例分配问题⑩日历中的问题（二）二次方程1、概念①一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程2、一元二次方程的解法：①直接开平方方法②因式分解法③配方法④公式法3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2则有如：x12+x22=（x1+x2）2－2x1x24、根的判别式△=b2-4ac①△0时，方程有两个不相等的实数根②△=0时，方程有两个相等的实数根③△0时，方程没有实数根。（三）分式方程1、定义：分母里含有未知数的方程2、分式方程的解法：（1）思路：将分式方程转化为整式方程，解之并代入公分母中验根。（2）步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、解一元一次方程、验根。3、列分式方程解决实际问题的步骤：审、设、找、列、解、验、答。（不仅要验根还要验是否符合题意）四、不等式及不等式组（一）一元一次不等式1、不等式的定义：用“”、“”、“≥”、“≤”、“≠”等不等号连接的式子。2、不等式的基本性质：①如ab，c为实数则a+cb+c；如ab，c为实数则a-cb-c②如ab，c0则acbc；如ab，c0则③如ab，c0则acbc；如ab，c0则3、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式的不等式。4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解。5、解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1（二）一元一次不等式组1、定义：同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中的各个不等式的解集的公共部分。3、解一元一次不等式组（1）步骤：先分别求出不等式组中各个不等式的解集、在数轴上分别表示、找公共部分（2）确定法则：同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小是无解。4、应用：审、设、列、解、择、答。（择：从解集中根据实际情况选择符合题意的解或解集）五、函数及其图象（一）平面直角坐标系1、有序实数对：有顺序的两个实数a和b组成的实数对。（利用它可以准确表示平面内一个点的位置）2、平面直角坐标系：平面内两条互相垂直、零点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的数轴x轴，取向右为正；竖直的数轴叫y轴，取向上为正；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。3、象限：坐标平面被x轴、y轴分割成四个象限，分别称为第一、二、三、四象限。（x轴、y轴与坐标原点不属于任何象限）4、坐标：P(a，b)表示由点P向x轴作垂线，垂足对应着x轴上的一个实数a；由点P向y轴作垂线，垂足对应着y轴上的一个实数b；a为横坐标，b为纵坐标。5、平面内点的坐标特征：可从各象限内的点、坐标轴上的点、角平分线上的点、平行线上的点来归纳。6、关于坐标轴对称的点的坐标：P(a,b)→(关于x轴)Px(a,-b)；P(a,b)→(关于y轴)Py(-a,b)；P(a,b)→(关于原点)Po(-a,-b)；P(a,b)→(关于直线y=x)P1(-a,b)7、两点间的距离公式：A(x1,y1)、B(x2,y2)的距离为（二）函数概念1、变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，始终不变的量叫做常量。2、函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个值，y都有一个唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。3、函数中自变量的取值范围4、函数值：对于自变量在取值范围内的一个确定的值，该函数有唯一确定的对应值，此对应值为函数值。acxxabxx2121,abccabcc21221214)(xxxxxx221221)()(yyxxAB35、函数的表示方法：解析法、列表法、图象法。6、描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线(有等号画实心，无等号画空心)（三）一次函数1、正比例函数：如果y=kx（k是常数，k≠0），那么y叫做x的正比例函数；其图象是过点(0,0)与(1,k)的一条直线。2、一次函数：如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0）那么y叫做x的一次函数。其图象是过点(0,b)、(,0)的一条直线。3、正比例函数、一次函数的图象与性质：解析式y=kx(k≠0)y=kx+b(k≠0)kk0k0k0k0k0k0bb=0b=0b0b0b0b0图象与x轴交点(0,0)(0,0)负半轴正半轴正半轴负半轴与y轴交点(0,0)(0,0)正半轴负半轴正半轴负半轴与y轴截距00bbbb增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而增大y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而减小图象经过象限一、三二、四一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四4、直线的位置与常数的关系：①k0则直线的倾斜角为锐角②k0则直线的倾斜角为钝角③图像越陡，|k|越大④b0直线与y轴的交点在x轴的上方⑤b0直线与y轴的交点在x轴的下方5、一次函数的确定-----待定系数法：设、列、求。6、一次函数与一次方程的关系：求两个一次函数的交点就是解两个一元一次方程构成的方程组。7、①直线y=k1x+b与直线y=k2x+b平行，则k1=k2②直线y=k1x+b与直线y=k2x+b垂直，则k1k2=1（四）反比例函数1、定义：函数(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，k叫做比例函数，反比例函数自变量x的取值范围是一切不等于0的实数。2、反比例函数的图象：是双曲线3、反比例函数的性质：解析式kk0k0图象所在象限一、三二、四增减性当x0或x0时，y随x的增大而减小当x