九年级数学提优训练-(2)

第1页，共8页九年级数学提优训练一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）1.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=14𝐵𝐶2；（4）∠ABE=∠DCE．A.1B.2C.3D.42.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，现把菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′C′D′，若AB=4，则阴影部分的面积为（）A.4𝜋−12√3+12B.4𝜋−8√3+12C.4𝜋−4√3D.4𝜋+123.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④二、填空题4.如图，平面直角坐标系中，已知点B（2，1），过点B作BA⊥x轴，垂足为A，若抛物线y=12x2+k与△OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是__________________5.如图，点P在双曲线y=𝑘𝑥（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=8，则k的值是______．6.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为________7.如图，抛物线𝑦1=𝑎(𝑥+2)2−3与𝑦2=12(𝑥−3)2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②𝑎=32；③当x=0时，y2-y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是______．8.已知抛物线y=14x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为（√3，3），P是抛物线y=14x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是__________；三、解答题9.如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．（1）若点E是𝐵𝐷⏜的中点，求∠F的度数；（2）求证：BE=2OC；（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？第2页，共8页10.如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0，5），B（-1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F．①求点F的坐标；②求四边形ADEF的面积；（3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，已知抛物线y=13𝑥2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第3页，共8页答案和解析1.【答案】D【解析】解：设AD和半圆⊙O相切的切点为F，∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，∴∠ABC=∠DCB=90°，∵AB为直径，∴AB，CD是圆的切线，∵AD与以AB为直径的⊙O相切，∴AB=AF，CD=DF，∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正确；如图1，连接OE，∵AE=DE，BO=CO，∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD），∴OE⊥BC，∴S△BCE=BC•OE=（AB+CD）=（AB+CD）•BC==S△ABE+S△DCE，故②正确；如图2，连接AO，OD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AB，CD，AD是⊙O的切线，∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠AOD=90°，∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DOC，∴△ABO∽△OCD，∴，∴AB•CD=OB•OC=BCBC=BC2，故③正确，如图1，∵OB=OC，OE⊥BC，∴BE=CE，∴∠BEO=∠CEO，∵AB∥OE∥CD，∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，∴∠ABE=∠DCE，故④正确，综上可知正确的个数有4个，故选D．设AD和半圆⊙O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用．2.【答案】A【解析】解：由题意：AB=AD=DC=AB′=CB′=4，∠DAC=∠DCA=∠DC′F=30°，∵∠C′DC=60°，∴∠DFC′=90°，∵AC=AC′=4，C′D=4-4，∴DF=DC′=2-2，C′F=6-2，∴S阴=S扇形ACC′-S△ADC-S△DFC′=-×4×2-×（2-2）（6-2）=4π-12+12，故选：A．根据S阴=S扇形ACC′-S△ADC-S△DFC′，计算即可解决问题；本题考查扇形的面积公式、菱形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．3.【答案】B【解析】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则=，∵=，∴==，显然不可能，故①错误．②正确．连接OD．∵GD是切线，∴DG⊥OD，∴∠GDP+∠ADO=90°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD，第4页，共8页∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，∴∠GPD=∠GDP，∴GD=GP，故②正确．③正确．∵AB⊥CE，∴=，∵=，∴=，∴∠CAD=∠ACE，∴PC=PA，∵AB是直径，∴∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ=PA，∵∠ACQ=90°，∴点P是△ACQ的外心．故③正确．④正确．连接BD．∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴=，∴AP•AD=AF•AB，∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，∴△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，故选：B．①错误，假设成立，推出矛盾即可；②正确．想办法证明∠GPD=∠GDP即可；③正确．想办法证明PC=PQ=PA即可；④正确．证明△APF∽△ABD，可得AP•AD=AF•AB，证明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，证明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．4.【答案】-2k18【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据图形求出抛物线与△OAB的边界有一个交点时k的值是解题的关键，解题时注意，二次函数的图象是抛物线，对称轴是y轴，抛物线与y轴的交点的纵坐标是函数解析中c的值．【解答】解：当抛物线在x轴上方时，可得k＞0，已知边OB所在的直线的解析式为：y=x，与抛物线有两个交点时，x=，即，Δ=1-8k＞0，即k＜，当k=0时，抛物线与边OB交于点（0，0）和（1，），同样符合条件，当抛物线顶点在x轴下方时，k0，∵B（2,1）,BA⊥x轴，∴A（2,0），当抛物线经过点A时，0=2+k,即k=-2，∵抛物线开口向上，∴抛物线与△OAB有两个公共点时，k-2，综上，若抛物线与△OAB的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是-2k．故答案为-2k．5.【答案】16【解析】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，∵⊙P与两坐标轴都相切，第5页，共8页∴PA=PB，四边形OAPB为正方形，∵∠APB=∠EPF=90°，∴∠BPE=∠APF，∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE=AF，∵OF-OE=8，∴（OA+AF）-（BE-OB）=8，即2OA=8，解得OA=4，∴k=OA×PA=4×4=16．故答案为：16．过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA=PB，由∠APB=∠EPF=90°可证△BPE≌△APF，得BE=AF，利用OF-OE=8，求圆的半径，根据k=OA×PA求解．本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据圆与坐标轴相切的关系作辅助线，构造全等三角形，正方形，将有关线段进行转化．6.【答案】174.【解析】【分析】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大.当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得.【解答】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，菁优网∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴.∴.∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM=，∴，∴△AOP的最大面积=.故答案为.7.【答案】①⑤【解析】解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；②将点A（1，3）代入抛物线，得a（1+2）2-3=3，解得a=，故本选项错误；③当x=0时，y1==-，=，y2-y1=+=，故本选项错误；④令y2=y1，则有=，解得x1=1，x2=-35．几何图象可知，y2＞y1，-35＜x＜1，故本选项错误；⑤令=3，解得，x1=1或x2=-5；AB=5+1=6；=3，解得，x3=5，x4=1；AB=5-1=4；则2AB=3AC．故本选项正确．故答案答案为①⑤．第6页，共8页①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数；②将点A（1，3）代入得a=即可判断；③将x=0分别代入和，求出y1与y2的值，再相减即可得到y2-y1的值；④令y2=y1，求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；⑤令=3，=3，分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC的长，即可做出正确判断．本题考查了二次函数的性质，数形结合是本题的核心，要善于利用图形进行解答．8.【答案】5【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，