2011年中考复习(圆)

第一轮复习圆圆中的计算与圆有关的位置关系圆的基本性质点与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系扇形面积、弧长圆锥的侧面积和全面积弧、弦与圆心角圆周角及其与同弧上圆心角圆的对称性切线圆的切线切线长圆一、知识结构一、垂径定理●OABCDM└③AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”若①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.1.定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.2、垂径定理的逆定理②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OCD●MAB┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(1)直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.知二得三注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?()错●OABCDM└●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___.2cm或14cm在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OABDA′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系三、圆周角定理及推论90°的圆周角所对的弦是.●OABC●OBACDE●OABC定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.推论:直径所对的圆周角是.直角直径判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.(×)(×)(√).p.or.o.p.o.p四、点和圆的位置关系Op＜r点p在⊙o内Op=r点p在⊙o上Op＞r点p在⊙o外不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）圆内接四边形的性质：（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角反证法的三个步骤：1、提出假设2、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确1、直线和圆相交dr;dr;2、直线和圆相切3、直线和圆相离dr.五.直线与圆的位置关系●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐=切线的判定定理•定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.CD●OA如图∵OA是⊙O的半径,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.（１）定义（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r（３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理的两种应用1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.∵CD切⊙O于Ａ,OA是⊙O的半径CD●OA∴CD⊥OA.切线的性质定理出可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立。①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心。如①②③①③②②③①任意两个交点个数名称0外离1外切2相交1内切0内含同心圆是内含的特殊情况d,R,r的关系dRrdR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rdR-r六.圆与圆的位置关系ABCO七.三角形的外接圆和内切圆：ABCI三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。三角形外接圆的圆心叫三角形的外心实质性质三角形的外心三角形的内心三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离相等到三角形各顶点的距离相等锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O三角形的外心是否一定在三角形的内部？从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.ABP●O12ABC●┗┓ODEF●ABC●O●┓ODEF.21cbarS.2cbar切线长定理及其推论:直角三角形的内切圆半径与三边关系.三角形的内切圆半径与圆面积.∵PA,PB切⊙O于A,B∴PA=PB∠1=∠2二、基本图形（重要结论）辅助线一关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。OPAB┓在遇到与直径有关的问题时，应考虑作出直径或直径所对的圆周角。这也是圆中的另一种辅助线添法。辅助线二CAB.O当遇到已知切线和切点时，要注意连接圆心和切点，以便得到直角去帮助解题。辅助线三OA.┓•1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.OBA60度30或150度CAOB2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠AOC=140°，求∠B的度数．3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.D解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.∵∠AOC=140°∴∠D=70°∴∠B=180°－70°=110°2或4cm4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？ABCP5、如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？BDCAO补充：若∠B=70°,则∠DOE=＿＿＿．E40°7、如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E．证明:DE是圆O的切线.ABCDEO.1.已知，如图，AB为⊙O的直径，AB=AC,BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E,∠BAC=45°。给出下面五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤DE=DC。其中正确的是＿＿＿＿＿＿(填序号).ABCDEO析：本题主要是应用辅助线二，作出直径所对的圆周角。连接ＡＤ、ＢＥ。则∠ＢＥＡ与∠ＡＤＢ均为９０°，求出各角，得解。①②④⑤２．在同圆中,若AB=2CD，则弦AB与2CD的大小关系是（）︵︵BDCBAOMA.AB＞2CDB.AB＜2CDC.AB=2CDD.不能确定分析:我们可取AB的中点M,则AM=BM=CD,弧相等则弦相等,在△AMB中AM+BM＞AB,即2CD＞AB.︵︵︵︵3.已知,ΔABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AC=4,AB=6,AD=3,求⊙O的直径。证明:作⊙O的直径AE,连接BE,则∠C=∠E,∠ADC=∠ABE,∴△ABE∽△ADC,∴AD/AB=AC/AE,即AE=AB×AC/AD=8,∴⊙O的直径为8分析:解决此类问题时,我们通常作出直径以及它所对的圆周角,证明ΔABE∽ΔADC.ＥＤBCA.O┓.115°100°问题一:当点O为△ABC的外心时，∠BOC=＿＿＿＿＿＿＿＿问题二:当点O为△ABC的内心时，∠BOC=＿＿＿＿＿＿＿＿4.已知,如图,锐角三角形ABC中,点O为形内一定点.∠A=50°O.ABC当点O为外心时，则∠A与∠BOC为圆周角与圆心角的关系。如图。所以∠BOC=100°若点O为内心，则应用公式∠BOC=90+0.5∠A，可得∠BOC=115°证明一：连接AC、BC∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA，又CD⊥AB∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD=∠CBA=∠CAF，AF=CF︵︵5.已知，如图，AB是⊙O的直径，C为AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F。求证：AF=CF⌒分析:要正线段相等,通常是证明两角相等或三角形全等。该题是证两角相等。AFCED证明二：延长CD交⊙O于GG若该点位N，你能证明AF=FN吗？AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AG=AC=CE，∴∠CAE=∠GCA，∴CF=AF︵︵︵20°50°或130°问题二:当点O为△ABC的外心时，∠A=＿＿＿＿＿＿＿问题一:当点O为△ABC的内心时，∠A=＿＿＿＿＿＿＿1.已知,三角形ABC中,点O为一定点.∠BOC=100°.当点O为内心时，则根据公式∠BOC=∠A+90°，可得∠A=20°当点O为外心时，则首先要考虑圆心是在三角形内还是外，因此要分两种情况求解。当外心在三角形内时,∠BOC=2∠A，则∠A=50°，当外心在三角形外时，∠A=180-∠BOC=130°2121你做对了吗？心动不如行动2.已知，如图，OA、OB为⊙O的两条半径，且OA⊥OB，C是AB的中点，过C作CD∥OA，交AB于D，求AD的度数。⌒BDOAC分析：求弧AD的度数，即求它所对的圆心角的度数。因此连接OD，延长DC交OB与E，可∠EDO=∠DOA=30°，所以弧AD为30°E心动不如行动BCA.OＤ.3、已知,ΔABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AC+AB=12,AD=3,设⊙O的半径为y,AB为x，求y与x的关系式。分析：类似于例题，只要正△ABE与△ADC相似即可。相信你一定能解对！E答案：xxy2612(3＜x＜9)心动不如行动6.两个圆的半径的比为2:3,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是＿＿＿＿＿解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x依题意得：3x-2x=8，解得：x=8∴R=24cm，r=16cm∵两圆相交，∴R-rdR+r∴8cmd40cm分析:可根据两圆内切时d=R-r,求出半径,当两圆相交时R-rdR+r,据此可求得结果.OBADPEC7.如图，从⊙O外一点引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA=8㎝，C为AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PDF的周长为＿＿＿＿＿︵析：根据切线长定理可知，PA=PB，而DE切⊙O于C，所以又有DA=DC，EC=EB，从而△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PA+PB解：∵PA、PB、DE为的切线，切点为A、B、C，则PA=PB；DA=DC；EC=EB。∴△PDE的周长=PA+PB=16㎝16㎝8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°若以C为圆心、r为半径画⊙C.若AC=3，BC=4,试问：⑴当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相切？⑵当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相交？⑶当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相离？HACB┓析：当直线与圆相切时，d=r，所以只要算出圆心到AB的距离即可。相离d＞r;相交d＜r.略解：d=CH=2.4(1).d=2.4=r(2).r＞2.4(3).0＜r＜2.49.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证DE为⊙O的切线。ODEBAC.分析：证明切线常用两种方法；一为d=r;另一为切线的判定定理。该题已知DE与圆有公共点，故用第二种证法证一：连接OD∵OD=OB，AB=AC则∠B=∠C=∠BDO，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，所以DE为⊙O的切线证法二：连接OD、AD1324∵AB为直径，∴∠BDA=90°又∵AB=AC，∴点D为BC的中点∴∠1=∠3，而∠2=∠3，DE⊥AC∴∠1+∠4=90°∴∠2+∠4=90°∴DE为⊙O的切线4.已知：如图，AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=50°，P为⊙O上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数为（）A.40°B.65°C.115°D.65°或115°分析：在解决此问题时,应注意点P为一动点,它可能在劣弧BC上,也可能在优弧上,但万变不离其中,应用辅助线三,连接OB、OC得直角,即可求解。POBAC.65°P115°D心动不如行动86ABC5.如图Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以点为圆心,4.8为半径的圆与线段AB的位置关系是_