二向应力状态分析—图解法

2222)2()2(xyxyx1、莫尔圆的概念2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx§7–4二向应力状态分析—图解法)0,2(yx2222)2()2(xyxyx当斜截面随方位角变化时,其上的应力，在-直角坐标系内的轨迹是一个圆。圆心的坐标为(thecoordinatesofMOHRcircle’scenter)22)2(xyxr2222)2()2(xyxyx半径为此圆称为应力圆,或称为莫尔圆o2σσyx22()2xxyC2222)2()2(xyxyx2、应力圆作法σxτxσyτyτxσxτyσyσxτxσyτyτxσxτyσy在-坐标系内,选定比例尺ooD1σxτxσyτyτxσxτyσyB1x量取OB1=xB1D1=x得D1点。oD2D1σxτxσyτyτxσxτyσyB1x量取OB2=yB2D2=y得D2点yB22yx该圆的圆心C点到坐标原点的距离为22)2(xyxr半径该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆。oD2D1B1xyB2CD1点的坐标为(x,x)因而D1点代表单元体x平面（即横截面）上的应力。oD2D1B1xyB2C点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。说明夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。A1B12ABoc§7–5三向应力状态分析一、空间应力状态的概念Y,Z平面的定义类似。1、X平面：法线与X轴平行的平面.xyzo前面右侧面上面σxτxyτxzσyτyxτyzσzτzxτzyτ第一下标第二下标xy表示x平面上，沿y方向的剪应力。第一下标表示剪应力所在的平面。第二下标表示剪应力的方向。xyzo前面右侧面上面σxτxyτxzσyτyxτyzσzτzxτzyxzzxzyyzyxxy因而独立的应力分量是6个σxσyσzτxyτyzzx根据剪应力互等定理数值上有xyzo前面右侧面上面σxτxyτxzσyτyxτyzσzτzxτzy二、应力状态的分类σ1σ2σ3空间应力状态:1，2，3均不等于零平面应力状态:1，2，3中有一个等于零.单轴应力状态:1，2，3中只有一个不等于零已知：受力物体内某一点处三个主应力1、2、3。利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力,。三、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力131223若受力构件内一点处的三个主应力都不等于零，则该点处于三向应力状态。其主应力为321、、应力圆平行于3的方向面－其上之应力与3无关，于是由1、2可作出应力圆.1xyz图a23图bmax123（1）弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点（2）整个单元体内的最大剪应力为231max最大正应力和最大剪应力从三向应力圆中可以看出，最大正应力，最小正应力及最大剪应力分别为231max3min1max注意其位置？§7–8广义胡克定律一、单拉下的本构关系xyzxExxxyExzE)x,y,zi,j(ij0二、纯剪的本构关系Gxyxy)x,y,zi(i00zxyzxyzxy三、复杂状态下的本构关系xyzzyxyx依叠加原理,得zyxzyxxEEEE1GxyxyGyzyzGzxzxxzyyE1yxzzE1zyxxE1主单元体本构关系13221E12331E32111E123a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用表示。各向同性材料在三向应力状态下的体积应变五、体积应变与应力分量间的关系dzdydxV)(dzdydx)(dz)(dy)(dxV32132111111体积应变：3211VVV代入本构关系，得到体积应变与应力分量间的关系:KEEm)3()21(3)(21321321)21(3EK3321m课本P239例题7.9例题4：壁厚t=10mm,外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上k点处与其轴线成45°和135°角即x,y两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶,如图所示，已知圆筒材料的弹性常数为E=200GPa和=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且max=10MPa,试求k点处的线应变x,y以及变形后的筒壁厚度。Dtymk450900x450900Dtxymk0MPa80MPa80max3max1zxy可求得解:从圆筒表面k点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示τmaxτmaxxyk45013k点处的线应变x,y为)(102.5E)(1)(1)(14maxmaxmax压应变EEyxx)(102.54拉应变xyτmaxτmaxxyk45013圆筒表面上k点处沿径向(z轴)的应变为0)()(maxmaxEEyxz同理可得圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为)处的径向应变为因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为t=10mm.0)(EzKNAPA202（拉伸）MPaAFSA3023（负）bzb=50mmh=100mmxyzalP1P2P2A§7–9复杂应力状态的应变能密度一、应变能密度计算公式1、单轴应力状态下,物体内所积蓄的比能为222221EEv按叠加原理得三向应力状态下的应变能密度332211212121v312321232221221E)(31321m231(a)mmm(b)3-m1-m2-m(c)＝)(21321E体积改变能密度，畸变能密度（形状改变能密度）vudu体积应变，形状变化2321621)(Euvvummimm232131畸变能密度（形状改变能密度）21323222161Euddvuuu例9用能量法证明三个弹性常数间的关系。Gv2212纯剪单元体的应变能密度为：纯剪单元体应变能密度以主应力表示为：312321232221221Eu)(002)(02122E21E12EGxyA13