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12015-2016学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上）1．过点A（2，1）且斜率为1的直线方程是（）A．x﹣y﹣1=0B．x﹣y﹣3=0C．x+y﹣3=0D．x+y﹣1=02．观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，其中第20项是（）A．5B．6C．7D．103．在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，4）B．（﹣2，1，﹣4）C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，﹣4）4．下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．1B．2C．3D．66．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．30°B．45°C．60°D．135°7．某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，则这个厂近5年内的总产值为（）A．1.14aB．1.15aC．10a（1.16﹣1）D．10a（1.15﹣1）8．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为（）A．4B．6C．2D．29．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（）A．4B．5C．6D．8二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．不等式x2+x﹣2＜0的解集为．212．一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是．13．已知公差不为0的等差数列{an}满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的通项公式是．14．已知直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2=1相切，直线l的方程为．15．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角为60°；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，满分40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知在等差数列{an}中，a4=7，a2+a7=16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=+n，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式．17．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且c=2asinC，（1）求角A；（2）若a=2，且△ABC的面积等于，求b，c．18．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲、乙两种肥料所需要的主要原料磷酸盐、硝酸盐如表，已知现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数．磷酸盐（t）硝酸盐（t）生产1车皮甲种肥料418生产1车皮乙种肥料115（1）列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为1万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为.5万，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？最大利润是多少？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底图ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E是PC的中点（1）证明：PA∥平面BDE；（2）若PD=DC=2，求三棱锥P﹣EDB的体积．320．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线相切．（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．42015-2016学年贵州省贵阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卷相应的位置上）1．过点A（2，1）且斜率为1的直线方程是（）A．x﹣y﹣1=0B．x﹣y﹣3=0C．x+y﹣3=0D．x+y﹣1=0【考点】直线的点斜式方程．【分析】利用点斜式方程求解即可．【解答】解：过点（2，1）且斜率为1的直线方程为：y﹣1=x﹣2，整理，得x﹣y﹣1=0，故选：A．2．观察下列数列的特点：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，其中第20项是（）A．5B．6C．7D．10【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，的特点是1有1个，2有2个，3有3个，…n有n个，当n=5时，数列一共有15项，而当n=6时有6项，从而得到结论．【解答】解：数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，的特点是1有1个，2有2个，3有3个，…n有n个则数列一共有项，＜20，解得n≤5当n=5时，数列一共有15项，而当n=6时，有6项，则第20项为6，故选：B．3．在空间直角坐标系中，点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，4）B．（﹣2，1，﹣4）C．（2，1，﹣4）D．（2，﹣1，﹣4）【考点】空间中的点的坐标．【分析】根据空间点的对称性的特点进行计算即可．【解答】解：点关于xOy平面对称点的坐标满足x，y不变，z相反，即点（2，1，4）关于xOy平面对称点的坐标为（2，1，﹣4），故选：C．4．下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断D，举反例判断A，B，C．【解答】解：对与A，当c=0时，不成立，对于B：当a=1，b=﹣2时不成立，5对于C：当a＞0，b，c，d＜0时，不成立，对于D：若a＞b，c＜d，则﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故成立，故选：D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．1B．2C．3D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是以左视图为底面，高为2的直三棱柱，即可求出该多面体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是以左视图为底面，高为2的直三棱柱，∴该多面体的体积为=3，故选：C．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．30°B．45°C．60°D．135°【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，解得sinB=，∵b＜a，∴B为锐角，∴B=45°．故选：B．7．某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，则这个厂近5年内的总产值为（）A．1.14aB．1.15aC．10a（1.16﹣1）D．10a（1.15﹣1）【考点】函数的值．【分析】这个厂近5年内年产值构成一个首项为a，公比为1.1的等比数列，由此利用等比数列求和公式能求出这个厂近5年内的总产值．【解答】解：∵某工厂近5年内生产总值从a元开始以每年比上年产值增加10%，∴这个厂近5年内年产值构成一个首项为a，公比为1.1的等比数列，∴这个厂近5年内的总产值为：6S==10a（1.15﹣1）．故选：D．8．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则+的最小值为（）A．4B．6C．2D．2【考点】基本不等式；等比数列的通项公式．【分析】由题意易得正数a、b满足a+b=1，进而可得+=（+）（a+b）=2++，由基本不等式求最值可得．【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与3b的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1，∴+=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=时取等号，故选：A．9．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【考点】平面与平面平行的判定．【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选D．10．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|•|PB|的最大值是（）A．4B．5C．6D．8【考点】两点间距离公式的应用；直线的一般式方程．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），7注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”）故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11．不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1，且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．12．一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积是12πcm2．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可．【解答】解：正方体的棱长为：2cm，正方体的体对角线的长为：2cm，就是球的直径，∴球的表面积为：S2=4π（）2=12πcm2．故答案为：12πcm2．13．已知公差不为0的等差数列{an}满足：a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的通项公式是an=4n﹣2．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差为d≠0，由a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，可得=a1a5，即（2+d）2=2（2+4d），解得d即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，则=a1a5，∴（2+d）2=2（2+4d），解得d=4．∴an=2+4（n﹣1）=4n﹣2．故答案为：an=4n﹣2．14．已知直线l经过点（1，3），且与圆x2+y2=1相切，直线l的方程为x=1或4x﹣3y+5=0．【考点】圆的切线方程．【分析】设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出方程，当直线的斜率不存在时验证即可．【解答】解：设切线方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0．由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即=1，解得k=，8其方程为4x﹣3y+5=0．又当斜率不存在时，切线方程为x=1，综上所述，直线l的方程为x=1或4x﹣3y+5=0．故答案为：