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并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量维基百科，自由的百科全书在这篇文章内，我们把域上的某个线性空间中的向量用黑斜体字母来标记，把张量用正黑体字母来标记。在多重线性代数里，并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量(dyadictensor)是一个以特别标记法写出的二阶张量，是由成对的向量并置形成的。针对这特别标记法，有一套专门计算这种表达式，类似于矩阵代数规则的方法[1][2]。并矢张量的每一对向量的并置称为并并并并矢矢矢矢(dyad)。两个单位基底向量的并矢积称为单单单单位位位位并并并并矢矢矢矢(unitdyad)。标量与单位并矢的乘积就是并矢。例如，设定两个三维向量和，，；其中，、、，形成了一个三维空间里的标准正交基的单位基底向量。那么，与并置成为；其中，、、等等，都是单位并矢，、、等等，都是并矢。并矢张量也可以表达为。定定定定义义义义根据Morse与feshbach所著作的权威教科书[3]，在三维空间里，并矢张量是一个3×3阵列，其分量，当从一个坐标系变换到另外一个坐标系时，遵守协变变换(covarianttransformation)的定律。；其中，是变换后的分量。所以，并矢张量是一个二阶协变张量。反过来说，按照这定义推广，任意二阶协变张量都是并矢张量：。并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量运运运运算算算算应用点积，并矢张量可以与向量综合在一起：目目目目录录录录1定义2并矢张量运算3进阶理论4进阶定义5并矢张量与向量的缩并6范例6.1旋转6.2量子力学6.3经典力学7并矢张量的展开8实线性空间上的并矢张量和线性变换互相等同（爱因斯坦指标升降）9参见条目10参考文献页码，1/6并矢张量-维基百科，自由的百科全书2013/5/5；其中，、、，都是标准正交基的基底向量。注意到；其中，是克罗内克函数。所以，；这点积运算得到的结果是一个协变向量。并矢张量的缩并(tensorcontraction)运算，将每一个并置，替换为两个单位基底向量的点积，以方程式表达为。只成立于三维空间，并矢张量的旋旋旋旋转转转转因子因子因子因子运算，将每一个并置，替换为两个单位基底向量的叉积，以方程式表达为。这也可以表达为与列维-奇维塔符号的完全缩并：。进阶进阶进阶进阶理理理理论论论论两个向量的并并并并矢矢矢矢积积积积其实就是张量积。两个并矢积作形式上的相加就是并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量，从而并矢张量和二阶张量（严格地说，是二阶的反变张量）是同义词。力学、电动力学中常见的例子就是单位并矢张量、转动惯量以及麦克斯韦应力张量等；量子力学中的角动量耦合(angularmomentumcoupling)理论也要用到并矢张量。需要注意：并矢积是不可交换的，也就是说，除非两个矢量线性相关，否则一定有。在物理学中，并矢张量最重要的应用之一就是它和向量的缩并。对于并矢积和向量的缩并，规定。如果要求这种规定也适用于量子力学中的态矢量，在这种情况下就要特别注意每个式子右端各个向量的先后顺序：用狄拉克符号来写，则。进阶进阶进阶进阶定定定定义义义义设是域上的一个线性空间，则下述定义是等价的。定定定定义义义义1.对于任意，称它们的张量积为和的并并并并矢矢矢矢积积积积并将其简记为，称为并矢张量。更加推广，称中的元素为上的并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量，或者二二二二阶阶阶阶反反反反变张变张变张变张量量量量。定定定定义义义义2.如果有上的一个线性空间以及双线性映射满足(1),以及使得；(2)当线性无关时，是中的线性无关向量组，则称中的元素为上的并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量或二二二二阶阶阶阶反反反反变张变张变张变张量量量量，把记为。定定定定义义义义3.上的并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量（或者二二二二阶阶阶阶反反反反变张变张变张变张量量量量）这个概念可以按照下述规则来建立：页码，2/6并矢张量-维基百科，自由的百科全书2013/5/5(1)任意向量和并置摆放形成一个并并并并矢矢矢矢积积积积；(2)对于任意的和任意的，规定，并把上述结果不加区分地记作；(3)称有限个并矢积的形式和形式和形式和形式和为一个并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量；(4)对任意正整数，如果线性无关，则是线性无关向量组——特别是，的充分必要条件是或；(5)对任意的、、，成立着分配律分配律分配律分配律。注：注：注：注：所谓形式和形式和形式和形式和，就是说我们既不刻意追究求和的实际含义，也关心求和的结果在哪个集合中，而只是知道这种求和满足交换律和结合律。并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量与与与与向量的向量的向量的向量的缩缩缩缩并并并并既然上述定义等价，我们就把上所有的并矢张量所构成线性空间记为。在此基础上，如果是一个内积空间并把的内积记为（当时，约定对是共轭线性的），则定义并矢张量和矢量的缩缩缩缩并并并并和都是中的向量，满足下述运算律：(6)对于任意的以及，，从而可以把上述两个结果分别记为和。在上述公式中，表示的复共轭（如果）。(7)对于任意的以及，总有。(8)对于任意的以及，总有。(9)对任意的，总有。范例范例范例范例旋旋旋旋转转转转设定为一个并矢张量：。是一个二维空间的90°旋转算子(rotationoperator)。它可以从左边点积一个向量来产生一个旋转：；或以矩阵表达，。一个一般的二维旋转并矢张量，会产生角度反时针方向的旋转，表达为；其中，是二维的单单单单位位位位并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量。量子力量子力量子力量子力学学学学设是量子力学中所有的角动量本征态所张成的希尔伯特空间（囊括了所有可能的总角动量量子数，，，，页码，3/6并矢张量-维基百科，自由的百科全书2013/5/5），则。当我们要考虑角动量耦合的时候，就会遇到态矢量的并矢张量，而且时常把它记作或等等。任取一些复数（但是其中只能有有限个非零），则就是一个并矢张量。不妨把这个并矢张量记作，则它和的缩并就是，。在这其中，量子力学中最广为人知的就是通过CG矢量耦合系数(Clebsch-Gordancoefficients)所组合出来的张量。当然，在角动量耦合理论中，这样的张量被等同为某些角动量本征态，除了物理上的考虑之外，这更主要地还是有关李群及其李代数的表示的另外一个话题，请参看李群的表示(Liegrouprepresentation)及李代数的表示(Liealgebrarepresentation)，在这里就不再深入探讨了。实际上可以这样说，在量子力学中，只要物理问题涉及了系统的耦合，数学上就会导致态矢量的并矢。在这方面，还可以举一个常见的例子：由一维谐振子的态矢量所构成的并矢张量可以用来描述二维谐振子系统。经经经经典力典力典力典力学学学学三维欧几里得空间上的并矢张量的例子非常多，例如转动惯量、应力张量、应变等等。这些例子实际上就是并矢张量这个概念的最初原型。并并并并矢矢矢矢张张张张量的展量的展量的展量的展开开开开下面我们要说明，前面建议的规则(1)到(9)足以讲清楚二阶张量的运算和性质。考虑为欧几里得空间的情形，则是实数域上的有限维线性空间（设）而且带有正定的内积。设是的一个基底，则任意、都可以作线性展开，。在这里，为了充分演示规则(1)到(9)（见上面的定义3以及并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量与与与与向量的向量的向量的向量的缩缩缩缩并并并并）的使用，我们明显地写出了求和号而不使用爱因斯坦求和约定。但是，为了简便，求和的上下限被略去了。以下运算中，等于号上方的标号是规则的编号。首先，我们要证明所有的二阶张量都能够用展开。重复地利用规则(5)可得。接下来重复地利用规则(2)可得。这样，我们就证明了所有的并矢，即形如的张量都能够写成的线性组合。接下来，按照规则(3)以及上面的结论，所有的二阶张量最终都能够表达为的线性组合。反之，由规则(1)和(3)，每一个都是一个二阶张量，再由规则(3)，它们的任意线性组合也是二阶张量。至此，我们证明了二阶张量等价于的线性组合。然后，从规则(4)可以证明，全部的是线性无关的，因此构成了的基底。最后，利用规则（6）到（9）不难把所有的缩并最终归结为计算。特别是，如果所给的基是标准正交基，那么结果就非常简单了。实线实线实线实线性空性空性空性空间间间间上的上的上的上的并并并并矢矢矢矢张张张张量和量和量和量和线线线线性性性性变换变换变换变换互相等同（互相等同（互相等同（互相等同（爱爱爱爱因斯坦指因斯坦指因斯坦指因斯坦指标标标标升降）升降）升降）升降）对于维欧几里得空间而言，由于，规则(6)和(8)表明，给定任意一个并矢张量之后，从矢量到（或者）的映射是线性映射，所以，欧欧欧欧几里得空几里得空几里得空几里得空间间间间上的上的上的上的并并并并矢矢矢矢张张张张量量量量总总总总是是是是对应对应对应对应着着着着它它它它自身上的自身上的自身上的自身上的线线线线性性性性变换变换变换变换。。。。下面要证明，从页码，4/6并矢张量-维基百科，自由的百科全书2013/5/5并矢张量到线性变换的这种对应是满射。为了准确起见，把所对应的上的线性变换分别记为和，则有引理引理引理引理1.对于欧几里得空间上的任意一个线性变换，总是存在着上的并矢张量和使得,。证证证证明：明：明：明：由于证明方法类似，我们只证明的存在性。设是的一个基底（不必是标准正交基），令，则内积的正定性导致所构成的矩阵为正定矩阵。给了上的一个线性变换之后，我们可以借助于基底得到一个矩阵，其中，上标号是横标号，下标号是竖标号：。在这里我们使用了爱因斯坦求和约定。现在我们利用的逆矩阵，构造一个并矢张量，则，可见由。类似地也可以构造一个，使之满足。事实上，还可以证明是的转置——用基底来展开，就是说。结论证毕。把维欧几里得空间上的所有的线性映射所构成的线性空间记为，则后者的维数为.由并并并并矢矢矢矢张张张张量和向量的量和向量的量和向量的量和向量的缩缩缩缩并并并并中的规则(6)和(7)不难得到引理引理引理引理2.映射和都是线性映射。前面已经分析过，。根据引理2和引理1，我们就得到了定理定理定理定理映射和都是线性同构。这就是说，对于欧几里得空间来说，它上面的并矢张量和线性变换可以互相等同。一般说来，用作等同比较自然些。这种等同就是爱因斯坦在相对论中用所引入的指标升降法(尽管其中的线性空间是闵可夫斯基空间，但是方法是相似的)。具体来说，并矢张量是具有两个上指标的二阶反变张量，而线性变换则是一阶协变一阶反变的张量，就是用度规张量把二阶反变张量的右指标降下来，而则是把左边的反变指标降下来。特别是，当为恒等映射时，，从而得到推推推推论论论论把上的单单单单位位位位张张张张量量量量（这是经典力学中的叫法，在相对论中则常常被称为度度度度规张规张规张规张量量量量的逆的逆的逆的逆）定义为与恒等映射相对应的那个并矢张量（不管是还是，结果都一样），则它可以借助于基底展开为。在上述讨论过程中我们实际上没有真正用到内积的正定性，而真正实质性的条件有两点：（1）；（2）可逆。所以欧几里德空间可以放松为上带有一个非退化的对称双线性型的线性空间。相对论中所用到的闵可夫斯基空间就是这样的。参参参参见见见见条条条条目目目目页码，5/6并矢张量-维基百科，自由的百科全书2013/5/5并矢积张量积拉普拉斯-龙格-冷次向量线性空间参参参参考文考文考文考文献献献献1.^Papanastasio