高中数学必修5不等式知识点总结与题型归纳经典学案学案

1§3.1不等式与不等关系1）用不等式表示不等关系引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：40v引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示2.5%2.3%fp问题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则||dAB。问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为2.5(80.2)0.1xx万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1xx问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？解：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm;（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负。要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000;3;0;0.xyxyxy§3.1不等式与不等关系回忆初中不等式的的基本性质。（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；即若abacbc（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；即若,0abcacbc（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。即若,0abcacbc1、不等式的基本性质：证明以上的不等式的基本性质证明：1）∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0，∴a＋c＞b＋c2）()()0acbcab，∴acbc．实际上，我们还有,abbcac，（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）,abbcac（2）abacbc（3）,0abcacbc（4）,0abcacbc2、探索研究2思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（1）,abcdacbd；（2）0,0abcdacbd；（3）0,,1;nnnnabnNnabab。证明：1）∵a＞b，∴a＋c＞b＋c．①,∵c＞d，∴b＋c＞b＋d．②,由①、②得a＋c＞b＋d．2）bdacbdbcbdcbcaccba0,0,3）反证法）假设nnba，则：若nnnnabababab这都与ba矛盾，∴nnba．[范例]：例1、已知0,0,abc求证ccab。证明：以为0ab，所以ab0,10ab。于是11ababab，即11ba,由c0，得ccab3.随堂练习12、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（3＋2）2６＋26；（2）（3－2）2（6－1）2；（3）251561；(4)当a＞b＞0时，log21alog21b答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜[补充例题]例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）随堂练习21、比较大小：（1）（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2（2）2256259xxxx与4.小结学习不等式的性质，并用不等式的性质证明一些简单的不等式，研究如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论3§3.2一元二次不等式及其解法2.新课1）一元二次不等式的定义象250xx这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250xx的解集怎样求不等式（1）的解集？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5xx,二次函数有两个零点：120,5xx于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。（2）观察图象，获得解集画出二次函数25yxx的图象，如图，观察函数图象，可知：当x0，或x5时，函数图象位于x轴上方，此时，y0,即250xx；当0x5时，函数图象位于x轴下方，此时，y0,即250xx；所以，不等式250xx的解集是|05xx，从而解决了本节开始时提出的问题。3）探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：220,(0)0,(0)axbxcaaxbxca或一般地，怎样确定一元二次不等式cbxax20与cbxax20的解集？总结讨论结果：（l）抛物线ycbxax2（a0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程cbxax2=0的判别式acb42三种取值情况(Δ0，Δ=0，Δ0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a0可以转化为a0分ΔO，Δ=0，Δ0三种情况，得到一元二次不等式cbxax20与cbxax20的解集一元二次不等式00022acbxaxcbxax或的解集：设相应的一元二次方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：4000二次函数cbxaxy2（0a）的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx[范例]例2求不等式01442xx的解集.解：因为210144,0212xxxx的解是方程.,所以，原不等式的解集是21xx例3解不等式0322xx.解：整理，得0322xx.,因为032,02xx方程无实数解，所以不等式0322xx的解集是.，从而，原不等式的解集是.4.小结解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：A=cbxax20(或0)(a0)②计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ.0时，求根1x2x，.002121xxxAxxxA，则若；或，则若5ⅱ.=0时，求根1x＝2x＝0x，.00000xxAxAxxA，则若；，则若的一切实数；，则若ⅲ.0时，方程无解，.00xARxA，则若；，则若③写出解集.§3.2一元二次不等式及其解法2.新课[范例]例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下的关系：21120180sxx在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）解：设这辆汽车刹车前的速度至少为xkm/h，根据题意，我们得到21139.520180xx移项整理得：2971100xx显然0，方程2971100xx有两个实数根，即1288.94,79.94xx。所以不等式的解集为|88.94,79.94xxx或在这个实际问题中，x0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220yxx，若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到222206000xx移项整理，得211030000xx，因为1000，所以方程211030000xx有两个实数根，1250,60xx，由二次函数的图象，得不等式的解为：50x60因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51—59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。[补充例题]（1）应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）例：设不等式210axbx的解集为13{|1}xx，求ab?（2）应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）例：设22{|430},{|280}AxxxBxxxa，且AB，求a的取值范围.改：设2280xxa对于一切(1,3)x都成立，求a的范围.6改：若方程2280xxa有两个实根12,xx，且13x，21x，求a的范围.随堂练习21、已知二次不等式20axbxc的解集为1132{|}xxx或，求关于x的不等式20cxbxa的解集.2、若关于m的不等式2(21)10mxmxm的解集为空集，求m的取值范围.改1：解集非空改2：解集为一切实数4.小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域2.新课1．建立二元一次不等式模型把实际问题转化数学问题：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言转化符号语言）（资金总数为25000000元）25000000xy（1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上）(12%)x+(10%)y30000即12103000000xy（2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）0,0xy（3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：25000000121030000000,0xyxyxy2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）