导数与微分复习.

导数与微分第二章习题课一、导数和微分的基本概念二、极限、连续、可导与可微的关系三、导数求法一、用导数定义求导1.导数定义的等价形式xxfxxfxfx)()(lim)(000000)()(lim0xxxfxfxx点导数xxfxxfxfx)()(lim)(0导函数)(0xf)(xfxyxx0lim用于解题！【例1】).1(),45()1()(fxxxxf求设【解Ⅰ】—用导数定义1)1()(lim)1(1xfxffx)45()2(lim1xxxx!44【解Ⅱ】—用求导法则先求导函数])45()1([)(xxxxf])45()2()[1()]45()2([)1(xxxxxxxx])45()2()[1()45()2(xxxxxxx故!44)44()2)(1(1)1(f同理可求f(0)(自己练习)二、用求导法则求导1.四则运算的求导法则2.反函数的求导法则（了解）3.复合函数的求导法则4.隐函数求导法则5.对数求导法（注意适用类型）6.参数方程确定的函数求导法16组求导公式【例2】求导数：【解】)(ln2xeyxxuuyy则【分析】复合函数链式法则)(2xex)2(xex【关键】搞清每一部分的复合结构——用相应的导数公式,),(2xeuufyx令21xex21xex.,)(sincosyxxyx求设【例3】【解】等式两边取对数有)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxyx即【分析】含有幂指函数——对数求导法有取导数两边对xxxxxxyxsinlncosln])(sinln[lncosxxxxxxyycossin1cossinlnsin1三、高阶导数求法①直接法；②归纳法；③四则运算法；④间接法；【常用n阶导数公式】nnxnx)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()()1(1)(!)1()1()6(nnnxnx【例13】)0(,0,220,)(2fxxexxxxfx求设【分析】分界点的二阶导数要用二阶导数定义求xfxffx)0()(lim)0(0为此，须先求f(x)及f(０)，再用定义计算f(０).【解】010,120,12)(xxexxxfxf(０)=1也用导数定义求得xfxffx)0()(lim)0(0xfxffx)0()(lim)0(021)12(lim0xxx21)12(lim0xexx2)0(f四、微分公式与微分法则dxxfdy)(【求法】计算函数的导数,再乘以自变量的微分.1.【基本初等函数的微分公式】xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.【函数和、差、积、商的微分法则】2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvudarc【教材例2】【解】.),ln(2dyexyx求设,2122xxexxey.2122dxexxedyxx【例3】【解】.,cos31dyxeyx求设)(cos)(cos3131xdeedxdyxx.sin)(cos,3)(3131xxeexxdxxedxexdyxx)sin()3(cos3131.)sincos3(31dxxxex【例5】【解】.,sindybxeyax求设.)sincos(dxbxabxbeax【例4】【解】.),12sin(dyxy求设.12,sinxuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dxx)(cos)(sinbxbxdeaxdebxdyaxaxbdxbxedxaebxaxaxcos)(sin?,05.0,10问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径1、计算函数增量的近似值,,0)()(00很小时且处的导数在点若xxfxxfy【例6】【解】,2rA设.05.0,10厘米厘米rrrrdAA205.0102).(2厘米.)(0xxf00xxxxdyy微分在近似计算中的应用