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习题1011设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L在点(xy)处它的线密度为(xy)用对弧长的曲线积分分别表达(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量IxIy(2)这曲线弧的重心坐标xy解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds)设(xy)为小弧段ds上任一点.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dIxy2(xy)dsdIyx2(xy)ds曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为LxdsyxyI),(2LydsyxxI),(2曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为dMxy(xy)dsdMyx(xy)ds曲线L的重心坐标为LLydsyxdsyxxMMx),(),(LLxdsyxdsyxyMMy),(),(2利用对弧长的曲线积分的定义证明如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2则12),(),(),(LLLdsyxfdsyxfdsyxf证明划分L使得L1和L2的连接点永远作为一个分点则111111),(),(),(nniiiininiiiiiiisfsfsf令max{si}0上式两边同时取极限nniiiiniiiiniiiisfsfsf10101011),(lim),(lim),(lim即得12),(),(),(LLLdsyxfdsyxfdsyxf3计算下列对弧长的曲线积分(1)Lndsyx)(22其中L为圆周xacostyasint(0t2)解Lndsyx)(2220222222)cos()sin()sincos(dttatatatan20222222)cos()sin()sincos(dttatatatan2012122nnadta(2)Ldsyx)(其中L为连接(10)及(01)两点的直线段解L的方程为y1x(0x1)102])1[(1)1()(dxxxxdsyxL22)1(10dxxx(3)xdxL其中L为由直线yx及抛物线yx2所围成的区域的整个边界解L1yx2(0x1)L2yx(0x1)xdxLxdxxdxLL211021022)(1])[(1dxxxdxxx10102241xdxdxxx)12655(121(4)dseyxL22其中L为圆周x2y2=a2直线yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界解LL1L2L3其中L1xxy0(0xa)L2xacostyasint)40(tL3xxyx)220(ax因而dsedsedsedseyxLyxLyxLyxL22322222122axaaxdxedttataedxe220222402202211)cos()sin(012)42(aea(5)dszyx2221其中为曲线xetcostyetsintzet上相应于t从0变到2的这段弧解dtdtdzdtdydtdxds222)()()(dtetetetetettttt222)cossin()sincos(dtet320222222223sincos11dteetetedszyxtttt20220)1(23]23[23eedtett(6)yzdsx2其中为折线ABCD这里A、B、C、D依次为点(000)、(002)、(102)、(132)解ABBCCD其中ABx0y0zt(0t1)BCxty0z2(0t3)CDx1ytz2(0t3)故yzdsxyzdsxyzdsxyzdsxCDBCAB22229010200302223010dttdtdt.(7)Ldsy2其中L为摆线的一拱xa(tsint)ya(1cost)(0t2)解Ldttattatadsy2022222])(cos[])sin([)cos1(2023cos1)cos1(2dttta315256a(8)Ldsyx)(22其中L为曲线xa(costtsint)ya(sinttcost)(0t2)解dtdtdydtdxds22)()(atdtdttattat22)sin()cos(atdttttatttadsyxL])cos(sin)sin(cos[)(222022222023223)21(2)1(atdtta4求半径为a中心角为2的均匀圆弧(线密度1)的重心解建立坐标系如图104所示由对称性可知0y又LxxdsaMMx21adaacos21sina所以圆弧的重心为)0,sin(a5设螺旋形弹簧一圈的方程为xacostyasintzkt其中012它的线密度(xyz)x2y2z2求(1)它关于z轴的转动惯量Iz(2)它的重心解dttztytxds)()()(222dtka22(1)LzdszyxyxI),,()(22dszyxyxL))((22222dtkatkaa20222222)()43(32222222kakaa(2)LLdszyxdszyxM)(),,(2222022222)(dtkatka)43(3222222kakadszyxxMxL)(12222022222)(cos1dtkatkataM2222436kaakdszyxyMyL)(12222022222)(sin1dtkatkataM2222436kaakdszyxzMzL)(12222022222)(1dtkatkaktM22222243)2(3kakak故重心坐标为)43)2(3,436,436(22222222222222kakakkaakkaak