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习题1071利用斯托克斯公式计算下列曲线积分(1)xdzzdyydx其中为圆周x2y2z2a2若从z轴的正向看去这圆周取逆时针方向解设为平面xyz0上所围成的部分则上侧的单位法向量为)31,31,31()cos,cos,(cosn于是xdzzdyydxdSxzyzyxcoscoscos2333)coscoscos(adSdS提示dS表示的面积是半径为a的圆(2)dzyxdyxzdzzy)()()(其中为椭圆x2y2a21bzax(a0b0)若从x轴正向看去这椭圆取逆时针方向解设为平面1bzax上所围成的部分则上侧的单位法向量为),0,()cos,cos,(cos2222babbabn于是dzyxdyxzdxzy)()()(dSyxxzzyzyxcoscoscosdSbabadS22)(2)cos2cos2cos2()(2)(2)(22222baadxdyabadxdyabababaxyxyDD提示(即xabbz)的面积元素为dxdyabadxdyabdS222)(1(3)dzyzxzdyydx23其中为圆周x2y22zz2若从z轴的正向看去这圆周是取逆时针方向解设为平面z2上所围成的部分的上侧则dzyzxzdyydx2323yzxzyzyxdxdydzdxdydz2025)3()(22dxdyzdydzxz(4)dzzxdyydx232其中为圆周x2y2z29z0若从z轴的正向看去这圆周是取逆时针方向解设为xOy面上的圆x2y29的上侧则dzzxdyydx232232zxyzyxdxdydzdxdydz9dxdydxdyxyD2求下列向量场A的旋度(1)A(2z3y)i(3xz)j+(2x)k解kjikjiA6422332xyzxyzzyxrot(2)A(siny)i(zxcosy)k解jikjiA0)cos(sinyxzyzzyxrot(3)Ax2sinyiy2sin(xz)jxysin(cosz)k解)sin(cos)sin(sin22zxyxzyyxzyxkjiArot[xsin(cosz)xy2cos(xz)]iysin(cosz)j[y2zcos(xz)x2cosy]k3利用斯托克斯公式把曲面积分dSnArot化为曲线积分并计算积分值其中A、及n分别如下(1)Ay2ixyjxzk为上半球面221yxz的上侧n是的单位法向量解设的边界x2y21z0取逆时针方向其参数方程为xcosysinz0(02由托斯公式dSnArotRdzQdyPdxxzdzxydydxy220220]sincos)sin([sind(2)A(yz)iyzjxzk为立方体0x20y20z2的表面外侧去掉xOy面上的那个底面n是的单位法向量解dSnArotRdzQdyPdxdzxzyzdydxxy)()(0242dxydx4求下列向量场A沿闭曲线(从z轴正向看依逆时针方向)的环流量(1)Ayixjck(c为常量)为圆周x2y21z0解dcdzxdyydxL]coscos)sin()(sin[(20202d(2)A(xz)i(x3+yz)j3xy2k其中为圆周222yxzz0解有向闭曲线的参数方程为x2cosy2sinz0(02)向量场A沿闭曲线的环流量为LLdzxydyyzxdxzxRdzQdyPdx223)()(12]cos2cos8)sin2(cos2[203d5证明rot(ab)rotarotb解令aP1(xyz)iQ1(xyz)j+R1(xyz)kbP2(xyz)iQ2(xyz)j+R2(xyz)k由行列式的性质有)(barot212121RRQQPPzyxkji222111RQPzyxRQPzyxkjikjibarotrot6设uu(xyz)具有二阶连续偏导数求rot(gradu)解因为graduuxiuyjuzk故zyxuuuzyxukji)(gradrot(uzyuyz)i(uzxuxz)j(uyxuxy)k0*7证明(1)(uv)uvvu解kzuvjyuvixuvuv)()()()(kzvuvzujyvuvyuixvuvxu)()()()()(kzujyuixuukzujyuixuvuvvu(2)uuuvvuuv2)(解222222)()()()(zuvyuvxuvuv)()(222222222222zvyvxvvzvyvxvu)(2zvzuyvyuxvxuuvvu2uu(3)(AB)B(A)A(B)解BP2iQ2jR2k222111)(RQPRQPzyxBAzQPQPyRPRPxRQRQ)()()(122112211221xRPRxPxRQRxQxRQRxQ212112122121zQPQzPzQPQzPyRPRyP1212212112120)()()(221221112xQyPRzPxRQyPxQR)()()(112221112zQyRPyRzQPxRzPQ而222121111222)()(RQPzyxRQPRQPzyxRQPBAAB)()()(112112112yPxQRxRzPQzQyRP)()()(221111221yPxQRxRzPQzQyRP所以(AB)B(A)A(B)(4)(A)(A)2a解令APiQjRk则RQPzyxkjiAkPxQjxRzPizQyR)()()(从而yPxQxRzPzQyRzyxkjiA)(izxRzpyPyxQ)(2222222jyxPxQzQzyR)(222222kyxQyRxRzxP)(222222izPyPxPizxRyxQxP)()(2222222222jzQyQxQjzyRyQyxP)()(2222222222kzRyRxRkzRyzQxzP)()(2222222222])()()([kAzjAyiAx][222RkQjPiAA2)(命题地证