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习题1211试说出下列各微分方程的阶数(1)x(y)22yyx0解一阶(2)x2yxyy0解一阶(3)xy2yx2y0解三阶(4)(7x6y)dx(xy)dy0解一阶(5)022CQdtdQRdtQdL解二阶(6)2sindd解一阶2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解(1)xy2yy5x2解y10x因为xy10x22(5x2)2y所以y5x2是所给微分方程的解(2)yy0y3sinx4cosx解y3cosx4sinx因为yy3cosx4sinx3sinx4cosx7sinxcosx0所以y3sinx4cosx不是所给微分方程的解(3)y2yy0yx2ex解y2xexx2exy2ex2xex2xexx2ex2ex4xexx2ex因为y2yy2ex4xexx2ex2(2xexx2ex)x2ex2ex0所以yx2ex不是所给微分方程的解(4)y(12)y12y0xxeCeCy2121解xxeCeCy212211xxeCeCy21222211因为yyy2121)()())((2121212121221121222211xxxxxxeCeCeCeCeCeC0所以xxeCeCy2121是所给微分方程的解3在下列各题中验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解(1)(x2y)y2xyx2xyy2C解将x2xyy2C的两边对x求导得2xyxy2yy0即(x2y)y2xy所以由x2xyy2C所确定的函数是所给微分方程的解(2)(xyx)yxy2yy2y0yln(xy)解将yln(xy)的两边对x求导得yyxy11即xxyyy再次求导得)(1)()()1()(2222yyyyyxxxyxxyyyyxxxyyxyyxxyyy注意到由yyxy11可得1yxyyx所以)2(1])1([12yyyyxxxyyyyyyxxxyy从而(xyx)yxy2yy2y0即由yln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解4在下列各题中确定函数关系式中所含的参数使函数满足所给的初始条件(1)x2y2Cy|x05解由y|x00得0252CC25故x2y225(2)y(C1C2x)e2xy|x00y|x01解yC2e2x2(C1C2x)e2x由y|x00y|x01得10121CCC解之得C10C21故yxe2x(3)yC1sin(xC2)y|x1y|x0解yC1cos(xC2)由y|x1y|x0得0)cos(1)sin(2121CCCC即0cos1sin2121CCCC解之得C1122C故)2sin(xy即ycosx5写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程(1)曲线在点(xy)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方解设曲线为yy(x)则曲线上点(xy)处的切线斜率为y由条件yx2这便是所求微分方程(2)曲线上点P(xy)处的法线与x轴的交点为Q且线段PQ被y轴平分解设曲线为yy(x)则曲线上点P(xy)处的法线斜率为y1由条件第PQ中点的横坐标为0所以Q点的坐标为(x0)从而有yxxy10即yy2x06用微分方程表示一物理命题某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比所温度的平方成反比解2TPkdTdP其中k为比例系数