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习题1221求下列微分方程的通解(1)xyylny0解分离变量得dxxdyyy1ln1两边积分得dxxdyyy1ln1即ln(lny)=lnx+lnC,故通解为y=eCx.(2)3x25x5y0解分离变量得5dy(3x25x)dx两边积分得dxxxdy)53(52即123255Cxxy故通解为Cxxy232151其中151CC为任意常数(3)2211yyx解分离变量得2211xdxydy两边积分得2211xdxydy即arcsinyarcsinxC故通解为ysin(arcsinxC)(4)yxya(y2y)解方程变形为(1xa)yay2分离变量得dxxaadyy112两边积分得dxxaadyy112即1)1ln(1Cxaay故通解为)1ln(1xaaCy其中CaC1为任意常数(5)sec2xtanydxsec2ytanxdy0解分离变量得dxxxyyytansectansec22两边积分得dxxxyyytansectansec22即ln(tany)ln(tanx)lnC故通解为tanxtanyC(6)yxdxdy10解分离变量得10ydy10xdx两边积分得dxdyxy1010即10ln10ln1010ln10Cxy或10y10xC故通解为ylg(C10x)(7)(exyex)dx(exyey)dy0解方程变形为ey(ex1)dyex(1ey)dx分离变量得dxeedyeexxyy11两边积分得dxeedyeexxyy11即ln(ey)ln(ex1)lnC故通解为(ex1)(ey1)C(8)cosxsinydxsinxcosydy0解分离变量得dxxxdyyysincossincos两边积分得dxxxdyyysincossincos即ln(siny)ln(sinx)lnC故通解为sinxsinyC(9)0)1(32xdxdyy解分离变量得(y1)2dyx3dx两边积分得dxxdyy32)1(即14341)1(31Cxy故通解为4(y1)33x4C(C12C1)(10)ydx(x24x)dy0解分离变量得dxxxdyy)411(4两边积分得dxxxdyy)411(4即lny4lnxln(4x)lnC故通解为y4(4x)Cx2求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)ye2xyy|x00解分离变量得eydye2xdx两边积分得dxedyexy2即Ceexy221或)21ln(2Ceyx由y|x00得0)21ln(C21C所以特解)2121ln(2xey(2)cosxsinydycosysinxdx4|0xy解分离变量得tanydytanxdx两边积分得xdxydytantan即ln(cosy)ln(cosx)lnC或cosyCcosx由4|0xy得CC0cos4cos21C所以特解为xycoscos2(3)ysinxylnyeyx2解分离变量得dxxdyyysin1ln1两边积分得dxxdyyysin1ln1即Cxyln)2ln(tan)ln(ln或2tanxCey由eyx2得4tanCeeC1所以特解为2tanxey(4)cosydx(1ex)sinydy04|0xy解分离变量得dxeedyyyxx1cossin两边积分得dxeedyyyxx1cossin即ln|cosy|ln(ex1)ln|C|或cosyC(ex1)由4|0xy得)1(4cos4eC42C所以特解为)1(42cosxey(5)xdy2ydx0y|x21解分离变量得dxxdyy21两边积分得dxxdyy21即lny2lnxlnC或yCx2由y|x21得C221C4所以特解为24xy3有一盛满了水的圆锥形漏漏斗高为10cm顶角为60漏斗下面有面积为05cm2的孔求水面高度变化的规律及流完所需的时间解设t时该已流出的水的体积为V高度为x则由水力学有xdtdV)9802(5.062.0即dtxdV)9802(5.062.0又因为330tanxxr故dxxdxrV223从而dxxdtx23)9802(5.062.0即dxxdt2398025.062.03因此Cxt2598025.062.032又因为当t0时x10所以251098025.062.053C故水从小孔流出的规律为645.90305.0)10(98025.062.0532252525xxt令x0得水流完所需时间约为10s4质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动这外力和时间成正比和质点运动的速度成反比在t10s时速度等于50cm/s外力为4gcm/s2问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知vtkF并且法t10s时v50cm/sF4gcm/s2故50104k从而k20因此vtF20又由牛顿定律Fma即vtdtdv201故vdv20tdt这就是速度与时间应满足的微分方程解之得Ctv221021即Ctv2202由初始条件有C2210105021C250因此500202tv当t60s时cm/s3.26950060202v5镭的衰变有如下的规律镭的衰变速度与它的现存量R成正比由经验材料得知镭经过1600年后只余原始量R0的一半试求镭的量R与时间t的函数关系解由题设知RdtdR即dtRdR两边积分得lnRtC1从而)(1CteCCeR因为当t0时RR0故R0Ce0C即RR0et又由于当t1600时021RR故16000021eRR从而16002ln因此tteReRR000433.0010002ln06一曲线通过点(23)它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分求这曲线方程解设切点为P(xy)则切线在x轴y轴的截距分别为2x2y切线斜率为xyxy2002故曲线满足微分方程xydxdy即dxxdyy11从而lnylnxlnCxyC因为曲线经过点(23)所以C236曲线方程为xy67小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线)设船速为a船行方向始终与河岸垂直又设河宽为h河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k)求小船的航行路线解建立坐标系如图设t时刻船的位置为(xy)此时水速为)(yhkydtdxv故dxky(hy)dt又由已知yat代入上式得dxkat(hat)dt积分得Ctkakahtx3223121由初始条件x|t00得C0故3223121tkakahtx因此船运动路线的函数方程为ayytkakahtx3223121从而一般方程为)312(32yyhakx