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习题1231求下列齐次方程的通解(1)022xyyyx解原方程变为1)(2xyxydxdy令xyu则原方程化为12uudxduxu即dxxduu1112两边积分得Cxuulnln)1ln(2即Cxuu12将xyu代入上式得原方程的通解Cxxyxy1)(2即222Cxxyy(2)xyydxdyxln解原方程变为xyxydxdyln令xyu则原方程化为uudxduxuln即dxxduuu1)1(ln1两边积分得ln(lnu1)lnxlnC即ueCx1将xyu代入上式得原方程的通解yxeCx1(3)(x2y2)dxxydy0解这是齐次方程令xyu即yxu则原方程化为(x2x2u2)dxx2u(udxxdu)0即dxxudu1两边积分得u2lnx2C将xyu代入上式得原方程的通解y2x2(lnx2C)(4)(x3y3)dx3xy2dy0解这是齐次方程令xyu即yxu则原方程化为(x3x3u3)dx3x3u2(udxxdu)0即dxxduuu121332两边积分得Cxulnln)21ln(213即2312xCu将xyu代入上式得原方程的通解x32y3Cx(5)0ch3)ch3sh2(dyxyxdxxyyxyx解原方程变为xyxydxdyth32令xyu则原方程化为uudxduxuth32即dxxduuu2shch3两边积分得3ln(shu)2lnxlnC即sh3uCx2将xyu代入上式得原方程的通解22shCxxy(6)0)1(2)21(dyyxedxeyxyx解原方程变为yxyxeeyxdydx21)1(2令yxu则原方程化为uueeudyduyu21)1(2即uueeudyduy212分离变量得dyydueueuu1221两边积分得ln(u2eu)lnylnC即y(u2eu)C将yxu代入上式得原方程的通解Ceyxyyx)2(即Cyexyx22求下列齐次方程满足所给初始条件的特解(1)(y23x2)dy2xydx0y|x01解这是齐次方程令xyu即yxu则原方程化为(x2u23x2)(udxxdu)2x2udx0即dxxduuuu1332或dxxduuuu1)11113(两边积分得3ln|u|ln|u1|ln|u1|ln|x|ln|C|即u21Cxu3将xyu代入上式得原方程的通解y2x2Cy3由y|x01得C1故所求特解为y2x2y3(2)xyyxyy|x12解令xyu则原方程化为uudxduxu1即dxxudu1两边积分得Cxuln212将xyu代入上式得原方程的通解y22x2(lnxC)由y|x12得C2故所求特解为y22x2(lnx2)(3)(x22xyy2)dx(y22xyx2)dy0y|x11解这是齐次方程令xyu即yxu则原方程化为(x22x2ux2u2)dx(x2u22x2ux2)(udxxdu)0即dxxduuuuuu1112232或dxxduuuu1)1211(2两边积分得ln|u1|ln(u21)ln|x|ln|C|即u1Cx(u21)将xyu代入上式得原方程的通解xyC(x2y2)由y|x11得C1故所求特解为xy(x2y2)3设有连结点O(00)和A(11)的一段向上凸的曲线弧AO对于AO上任一点P(xy)曲线弧PO与直线段OP所围图形的面积为x2求曲线弧AO的方程解设曲线弧AO的方程为yy(x)由题意得20)(21)(xxxydxxyx两边求导得xxyxxyxy2)(21)(21)(即4xyy令xyu则有4udxduxu即dxxduu41两边积分得u4lnxC将xyu代入上式得方程的通解y4xlnxCx由于A(11)在曲线上即y(1)1因而C1从则所求方程为y4xlnxx