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习题1241求下列微分方程的通解(1)xeydxdy解)()()(CxeCdxeeeCdxeeeyxxxxdxxdx(2)xyyx23x2解原方程变为xxyxy231])23([11Cdxexxeydxxdxx])23([1])23([12CdxxxxCxdxxxxxCxxCxxxx22331)22331(1223(3)yycosxesinx解)(cossincosCdxeeeyxdxxdx)()(sinsinsinsinCxeCdxeeexxxx(4)yytanxsin2x解)2sin(tantanCdxexeyxdxxdx)2sin(coslncoslnCdxexexx)cos1cossin2(cosCdxxxxxcosx(2cosx+C)Ccosx2cos2x(5)(x21)y2xycosx0解原方程变形为1cos1222xxyxxy)1cos(1221222Cdxexxeydxxxdxxx)(sin11])1(1cos[112222CxxCdxxxxx(6)23dd解)2(33Cdeedd)2(33Cdee33332)32(CeCee(7)xxydxdy42解)4(22Cdxexeyxdxxdx)4(22Cdxexexx2222)2(xxxCeCee(8)ylnydx(xlny)dy0解原方程变形为yxyydydx1ln1)1(ln1ln1Cdyeyexdyyydyyy)ln1(ln1CydyyyyCyCyylnln21)ln21(ln12(9)3)2(2)2(xydxdyx解原方程变形为2)2(221xyxdxdy])2(2[21221Cdxexeydxxdxx]21)2(2)[2(2Cdxxxx(x2)[(x2)2C](x2)3C(x2)(10)02)6(2ydxdyxy解原方程变形为yxydydx213])21([33Cdyeyexdyydyy)121(33Cdyyyy32321)21(CyyCyy2求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)xxydxdysectany|x00解)sec(tantanCdxexeyxdxxdx)(cos1)cossec(cos1CxxCxdxxx由y|x00得C0故所求特解为yxsecx(2)xxxydxdysiny|x1解)sin(11Cdxexxeydxxdxx)cos(1)sin(1CxxCxdxxxx由y|x1得C1故所求特解为)cos1(1xxy(3)xexydxdycos5cot4|2xy解)5(cotcoscotCdxeeeyxdxxxdx)5(sin1)sin5(sin1coscosCexCxdxexxx由4|2xy得C1故所求特解为)15(sin1cosxexy(4)83ydxdyy|x02解)8(33CdxeeydxdxxxxxxCeCeeCdxee3333338)38()8(由y|x02得32C故所求特解为)4(323xey(5)13232yxxdxdyy|x10解)1(32323232Cdxeeydxxxdxxx)21()1(22221131313CeexCdxexexxxxx由y|x10得eC21故所求特解为)1(211132xexy3求一曲线的方程这曲线通过原点并且它在点(xy)处的切线斜率等于2xy解由题意知y2xy并且y|x00由通解公式得)2()2(CdxxeeCdxxeeyxxdxdxex(2xex2exC)Cex2x2由y|x00得C2故所求曲线的方程为y2(exx1)4设有一质量为m的质点作直线运动从速度等于零的时刻起有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的阻力作用求质点运动的速度与时间的函数关系解由牛顿定律Fma得vktkdtdvm21即tmkvmkdtdv12由通解公式得)()(222211CdtetmkeCdtetmkevtmktmkdtmkdtmk)(22222121Cekmktekketmktmktmk由题意当t0时v0于是得221kmkC因此)(22122121222kmkekmktekkevtmktmktmk即)1(222121tmkekmktkkv5设有一个由电阻R10、电感L2h(亨)和电源电压E20sin5tV(伏)串联组成的电路开关K合上后电路中有电源通过求电流i与时间t的函数关系解由回路电压定律知01025sin20idtdit即tidtdi5sin105由通解公式得tdtdtCettCdtetei5555cos5sin)5sin10(因为当t0时i0所以C1因此)45sin(25cos5sin55teettitt(A)6设曲dyxxxfdxxyfL])(2[)(2在右半平面(x0)内与路径无关其中f(x)可导且f(1)1求f(x)解因为当x0时所给积分与路径无关所以])(2[)]([2xxxfxxyfy即f(x)2f(x)2xf(x)2x或1)(21)(xfxxf因此xCxCdxxxCdxeexfdxxdxx32)(1)1()(2121由f(1)1可得31C故xxxf3132)(7求下列伯努利方程的通解(1))sin(cos2xxyydxdy解原方程可变形为xxydxdyysincos112即xxydxydcossin)(11])cossin([1CdxexxeydxdxxCeCdxexxexxxsin])sin(cos[原方程的通解为xCeyxsin1(2)23xyxydxdy解原方程可变形为xyxdxdyy1312即xxydxyd113)(])([331Cdxexeyxdxxdx)(222323Cdxxeexx31)31(222232323xxxCeCee原方程的通解为311223xCey(3)4)21(3131yxydxdy解原方程可变形为)21(31131134xydxdyy即12)(33xydxyd])12([3CdxexeydxdxxxxCexCdxexe12])12([原方程的通解为1213xCeyx(4)5xyydxdy解原方程可变形为xydxdyy4511即xydxyd44)(44])4([444Cdxexeydxdx)4(44CdxxeexxCex441原方程的通解为xCexy44411(5)xdy[yxy3(1lnx)]dx0解原方程可变形为)ln1(11123xyxdxdyy即)ln1(22)(22xyxdxyd])ln1(2[222Cdxexeydxxdxx])ln1(2[122CdxxxxxxxxC94ln322原方程的通解为xxxxCy94ln321228验证形如yf(xy)dxxg(xy)dy0的微分方程可经变量代换vxy化为可分离变量的方程并求其通解解原方程可变形为)()(xyxgxyyfdxdy在代换vxy下原方程化为)()(22vgxvvfxvdxdvx即dxxduvfvgvvg1)]()([)(积分得Cxduvfvgvvgln)]()([)(对上式求出积分后将vxy代回即得通解9用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程然后求出通解(1)2)(yxdxdy解令uxy则原方程化为21udxdu即21ududx两边积分得xarctanuC将uxy代入上式得原方程的通解xarctan(xy)C即yxtan(xC)(2)11yxdxdy解令uxy则原方程化为111udxdu即dxudu两边积分得1221Cux将uxy代入上式得原方程的通解12)(21Cyxx即(xy)22xC(C2C1)(3)xyyy(lnxlny)解令uxy则原方程化为uxuxuxudxduxxln)1(2即duuudxxln11两边积分得lnxlnClnlnu即ueCx将uxy代入上式得原方程的通解xyeCx即Cxexy1(4)yy22(sinx1)ysin2x2sinxcosx1解原方程变形为y(ysinx1)2cosx令uysinx1则原方程化为xuxdxducoscos2即dxduu21两边积分得Cxu1将uysinx1代入上式得原方程的通解Cxxy1sin1即Cxxy1sin1(5)y(xy1)dxx(1xyx2y2)dy0解原方程变形为)1()1(22yxxyxxyydxdy令uxy则原方程化为)1()1(1222uuxuuxudxdux即)1(1223uuxudxdux分离变量得duuuudxx)111(123两边积分得uuuCxln121ln21将uxy代入上式得原方程的通解xyxyyxCxln121ln221即2x2y2lny2xy1Cx2y2(C2C1)