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习题1271下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)xx2解因为xxx2不恒为常数所以xx2是线性无关的(2)x2x解因为22xx所以x2x是线性相关的(3)e2x3e2x解因为332xxee所以e2x3e2x是线性相关的(4)exex解因为xxxeee2不恒为常数所以exex是线性无关的(5)cos2xsin2x解因为xxx2tan2cos2sin不恒为常数所以cos2xsin2x是线性无关的(6)2xe22xxe解因为xexexx2222不恒为常数所以2xe22xxe是线性无关的(7)sin2xcosxsinx解因为2sincos2sinxxx所以sin2xcosxsinx是线性相关的(8)excos2xexsin2x解因为xxexexx2tan2cos2sin不恒为常数所以excos2xexsin2x是线性无关的(9)lnxxlnx解因为xxxxlnln不恒为常数所以lnxxlnx是线性无关的(10)eaxebx(ab)解因为xabaxbxeee)(不恒为常数所以eaxebx是线性无关的2验证y1cosx及y2sinx都是方程y2y0的解并写出该方程的通解解因为y12y12cosx2cosx0y22y22sinx2sinx0并且xyycot21不恒为常数所以y1cosx与y2sinx是方程的线性无关解从而方程的通解为yC1cosxC2sinx提示y1sinxy12cosxy2cosxy12sinx3验证21xey及22xxey都是方程y4xy(4x22)y0的解并写出该方程的通解解因为0)24(2442)24(42222221211xxxxexxexexeyxyxy0)24()2(446)24(4222222232222xxxxxxexexexexxeyxyxy并且xyy12不恒为常数所以21xey与222xxey是方程的线性无关解从而方程的通解为22221xxxeCeCy提示221xxey222142xxexey22222xxexey223246xxexxey4验证(1)xxxeeCeCy5221121(C1、C2是任意常数)是方程y3y2ye5x的通解解令y1exy2e2xxey5121*因为y13y12y1ex3ex2ex0y23y22y24e2x3(2e2x2e2x0且xeyy12不恒为常数所以y1与y2是齐次方程y3y2y0的线性无关解从而YC1exC2e2x是齐次方程的通解又因为xxxxeeeeyyy5555121212531225*2*3*所以y*是方程y3y2ye5x的特解因此xxxeeCeCy5221121是方程y3y2ye5x的通解(2))sincos4(3213sin3cos21xxxxCxCy(C1、C2是任意常数)是方程y9yxcosx的通解解令y1cos3xy2sin3x)sincos4(321*xxxy因为y19y19cos3x9cos3x0y29y29sin3x9sin3x0且xyy3tan12不恒为常数所以y1与y2是齐次方程y9y0的线性无关解从而YC1exC2e2x是齐次方程的通解又因为xxxxxxxxyycos)sincos4(3219)cos4sin9(321*9*所以y*是方程y9yxcosx的特解因此)sincos4(3213sin3cos21xxxxCxCy是方程y9yxcosx的通解(3)yC1x2C2x2lnx(C1、C2是任意常数)是方程x2y3xy4y0的通解解令y1x2y2x2lnx因为x2y13xy14y1x223x2x4x20x2y23xy24y2x2(2lnx3)3x(2xlnxx)4x2lnx0且xyyln12不恒为常数所以y1与y2是方程x2y3xy4y0的线性无关解从而yC1x2C2x2lnx是方程的通解(4)xxxCxCyln92251(C1、C2是任意常数)是方程x2y3xy5yx2lnx的通解解令y1x5xy12xxyln9*2因为x2y13xy15y1x220x33x5x45x50015)1(32532322222xxxxxyyxyx且621xyy不恒为常数所以y1与y2是齐次方程x2y3xy5y0的线性无关解从而xCxCY251是齐次方程的通解又因为*5*3*2yxyyxxxxxxxxxxxln)ln9(5)9ln92(3)31ln92(222所以y*是方程x2y3xy5yx2lnx的特解因此xxxCxCyln92251是方程x2y3xy5yx2lnx的通解(5)2)(121xxxeeCeCxy(C1、C2是任意常数)是方程xy2yxyex的通解解令xexy11xexy122*xey因为0)(2)22(2223111xexxexexexexexxyyyxxxxxxx0)(2)22(2223222xexxexexexexexxyyyxxxxxxx且xeyy221不恒为常数所以y1与y2是齐次方程xy2yxy0的线性无关解从而)(121xxeCeCxY是齐次方程的通解又因为xxxxeexeexxyyxy2222**2*所以y*是方程xy2yxyex的特解因此2)(121xxxeeCeCxy是方程xy2yxyex的通解(6)yC1exC2exC3cosxC4sinxx2(C1、C2、C3、C4是任意常数)是方程y(4)yx2的通解解令y1exy2exy3cosxy4sinxy*x2因为y1(4)y1exex0y2(4)y2exex0y3(4)y3cosxcosx0y4(4)y4sinxsinx0并且04cossinsincoscossinsincosxxeexxeexxeexxeexxxxxxxx所以y1exy2exy3cosxy4sinx是方程y(4)y0的线性无关解从而YC1exC2exC3cosxC4sinx是方程的通解又因为y*(4)y*0(x2)x2所以y*x2是方程y(4)yx2的特解因此yC1exC2exC3cosxC4sinxx2是方程y(4)yx2的通解提示令k1exk2exk3cosxk4sinx0则k1exk2exk3sinxk4cosx0k1exk2exk3cosxk4sinx0k1exk2exk3sinxk4cosx0上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为04cossinsincoscossinsincosxxeexxeexxeexxeexxxxxxxx所以方程组只有零解即y1exy2exy3cosxy4sinx线性无关