12曲面及其方程

2020年7月15日大连东软信息学院第一章多元函数微分空间解析几何多元函数偏导数全微分多元函数微分学应用多元函数极值2020年7月15日大连东软信息学院1．2曲面及其方程曲面方程的概念旋转曲面柱面二次曲面案例引入在现实生活中，曲面比比皆是，如图所示的水桶表面和台灯罩表面，那么如何用代数方法来研究这些曲面呢？1．1．1曲面方程的概念如果曲面S与三元方程0),,(zyxF（1）有下述关系：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形．Oyxz0),,(zyxFS图1-71．曲面方程的定义2．几种常见曲面（1）球面例1建立球心在),,(0000zyxM、半径为R的球面的方程．Oyxz0MRM特别地：如果球心在原点，那么球面方程为2222Rzyx解设),,(zyxM是球面上的任一点，那么RMM0即Rzzyyxx202020)()()(或2202020)()()(Rzzyyxx2．几种常见曲面例２方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？解:配方得5,)0,2,1(0M可见此方程表示一个球面半径为球心为0222GFzEyDxAzAyAx球面的一般方程：特点：缺少xy,yz,zx项，平方项系数相等。2．几种常见曲面（2）线段的垂直平分面（平面方程）例３设有点)3,2,1(A和)4,1,2(B，求线段AB的垂直平分面的方程．设),,(zyxM是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MBMA222321zyx,412222zyx化简得所求方程.07262zyx解2．几种常见曲面yPRxQzO例４设一平面与x，y，z轴的交点依次为P(a，0，0)、Q(0，b，0)和R(0，0，c)三点，求此平面的方程．(其中a≠0，b≠0，c≠0)定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．播放1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．1．2．2旋转曲面例如:1．2．2旋转曲面1．2．2旋转曲面xozy0),(zyfM),,0(111zyM1zz（2）点M到z轴的距离||122yyxdyoz坐标平面上曲线C：绕z轴旋转一周所得的旋转曲面：如图将代入2211,yxyzz0),(11zyfd),,(zyxMM1在曲线C上，有f(y1,z1)=0,0,22zyxf得方程0),(zyfyoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.),,0(111zyM（1）例5将zOx坐标面上的双曲线12222czax分别绕z轴和x轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程．1．2．2旋转曲面绕x轴旋转绕z轴旋转122222czyax122222czayx旋转双曲面xyzOxyzO1．2．2旋转曲面例6直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．解yoz面上直线方程为cotyz圆锥面方程cot22yxz),,0(111zyMoxzy),,(zyxM【能力训练】例8说明下列旋转曲面是怎样形成的：(1)1449222zyx;(2)2222zxy．1．2．3柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线.定义C平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.L定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面定义观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.CL这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.CL1．2．3柱面1．2．3柱面例7方程x2+y2=R2表示怎样的曲面?方程x2y2R2在xOy面上表示圆心在原点O、半径为R的圆．在空间直角坐标系中这方程不含竖坐标z即不论空间点的竖坐标z怎样只要它的横坐标x和纵坐标y能满足这方程这些点就在这曲面上．也就是说过xOy面上的圆x2y2R2且平行于z轴的直线一定在x2y2R2表示的曲面上．所以这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的．这曲面叫做圆柱面。1．2．3柱面例方程y2=2x和x－y=0各表示怎样的曲面?xozyxozyxy22抛物柱面xy平面从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.（其他类推）实例12222czby椭圆柱面//轴x12222byax双曲柱面//轴zpzx22抛物柱面//轴y平面解析几何中空间解析几何中2x422yx1xy平行于y轴的直线平行于yoz面的平面圆心在)0,0(，半径为2的圆以z轴为中心轴的圆柱面斜率为1的直线平行于z轴的平面方程思考指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？1、与Z轴和点)1,3,1(A等距离的点的轨迹方程是_____________；2、以点)1,2,2(O为球心，且通过坐标原点的球面方程是_______________；3、球面：07442222zyxzyx的球心是点___________，半径R__________；4、设曲面方程22ax+22ay+22cz=1，，曲面可由xoz面上以曲线________________绕_______轴旋转面成，或由yoz面上以曲线_______________绕________轴旋转面成;1．2．4二次曲面椭圆锥面：xyzO22222zbyaxxyzO1．2．4二次曲面椭球面1222222czbyax1．2．4二次曲面单叶双曲面：1222222czbyax双叶双曲面：1222222czbyax1．2．4二次曲面zbyax2222椭圆抛物面1．2．4二次曲面双曲抛物面：(马鞍面)zbyax22221．2．4二次曲面椭圆柱面12222byaxxyzO1．2．4二次曲面xyzO双曲柱面12222byax1．2．4二次曲面xyzO抛物柱面axy2axy2