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习题161计算下列极限(1)xxxsinlim0解xxxxxxsinlimsinlim00(2)xxx3tanlim0解33cos133sinlim33tanlim00xxxxxxx(3)xxx5sin2sinlim0解52525sin522sinlim5sin2sinlim00xxxxxxxx(4)xxxcotlim0解1coslimsinlimcossinlimcotlim0000xxxxxxxxxxxx(5)xxxxsin2cos1lim0解2)sin(lim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim20220200xxxxxxxxxxxxx或2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0200xxxxxxxxxxx(6)nnnx2sin2lim(x为不等于零的常数)解xxxxxnnnnnn22sinlim2sin2lim2计算下列极限(1)xxx10)1(lim解11)(10)1()(1010})](1[lim{)](1[lim)1(limexxxxxxxxx(2)xxx10)21(lim解22210221010])21(lim[)21(lim)21(limexxxxxxxxx(3)xxxx2)1(lim解222])11(lim[)1(limexxxxxxx(4)kxxx)11(lim(k为正整数)解kkxxkxxexx))(()11(lim)11(lim3根据函数极限的定义证明极限存在的准则I证明仅对xx0的情形加以证明设为任一给定的正数由于Axgxx)(lim0故由定义知对0存在10使得当0|xx0|1时恒有|g(x)A|即Ag(x)A由于Axhxx)(lim0故由定义知对0存在20使得当0|xx0|2时恒有|h(x)A|即Ah(x)A取min{12}则当0|xx0|时Ag(x)A与Ah(x)A同时成立又因为g(x)f(x)h(x)所以Af(x)A即|f(x)A|因此Axfxx)(lim0证明仅对xx0的情形加以证明因为Axgxx)(lim0Axhxx)(lim0所以对任一给定的0存在0使得当0|xx0|时恒有|g(x)A|及|h(x)A|即Ag(x)A及Ah(x)A又因为g(x)f(x)h(x)所以Af(x)A即|f(x)A|因此Axfxx)(lim04利用极限存在准则证明(1)111limnn证明因为nn11111而11limn且1)11(limnn由极限存在准则I111limnn(2)1)1211(lim222nnnnnn证明因为2222222)1211(nnnnnnnnnn而1lim22nnnn1lim22nnn所以1)1211(lim222nnnnnn(3)数列222222的极限存在证明21xnnxx21(n123)先证明数列{xn}有界当n1时221x假定nk时xk2则当nk1时22221kkxx所以xn2(n123)即数列{xn}有界再证明数列单调增因为nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx2)1)(2(22221而xn20xn10所以xn1xn0即数列{xn}单调增因为数列{xn}单调增加有上界所以此数列是有极限的(4)11lim0nxx证明当|x|1时则有1x1|x|(1|x|)n1x1|x|(1|x|)n从而有||11||1xxxn因为1|)|1(lim|)|1(lim00xxxx根据夹逼准则有11lim0nxx(5)1]1[lim0xxx证明因为xxx1]1[11所以1]1[1xxx又因为11lim)1(lim00xxx根据夹逼准则有1]1[lim0xxx