2微分学

1.2.1极限与函数的连续1.2.3偏导数与全微分1.2.2导数与微分1.2微分学1.2.4导数与微分应用)(xfyyxoD1.2.1极限与函数的连续1.函数定义:定义域值域设函数为特殊的映射:其中定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。函数的特性13)(xxf有界性,单调性,奇偶性,周期性复合函数初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.例如.函数1)13(31)(3)]([xxfxff2极限极限定义的等价形式(以为例)0xx(即为无穷小)Axf)(极限存在准则及极限运算法则无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:两个重要极限xsin～;x～xcos1～;221x～xarcsin～;x～1xe～;x～1)1(x～;x重点：求极限的基本方法洛必达法则exxxxxx)11(lim,1sinlim0例1.求下列极限：)sin1(sinlim)1(xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示:xxsin1sin)1(21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界令1lim)2(x1xt0limt)1(sin)2(ttt0limttttsin)2(0limtttt)2(2xxsin12ttttsinsincoscossin)1(sin0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx12～2e)(lim12sincos0xxxxx1)121ln(cotlim0xxxxe3.连续与间断函数连续的定义)()(lim00xfxfxx)()(,000xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000xfxfxf函数间断点第一类（左右极限存在）第二类（左右极限至少有一个不存在）可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点重要结论：初等函数在定义区间内连续例2.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:20)cos1(lim)0(xxafx2a221~cos1xx)(lnlim)0(20xbfxblnbaln122e有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,)1)((lim0xaxbexx所以bexaxxx)1)((lim0ba101,0ba为可去间断点,)1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例3.设函数试确定常数a及b.1.2.2导数和微分导数定义:当时,为右导数当时,为左导数微分:关系:可导可微导数几何意义:切线斜率1.有关概念例4.设)(xf在2x处连续,且,32)(lim2xxfx求.)2(f解:)2(f)(lim2xfx])2()()2[(lim2xxfxx02)2()(lim)2(2xfxffx2)(lim2xxfx32.导数和微分的求法正确使用导数及微分公式和法则（要求记住！）P10隐函数求导法参数方程求导法高阶导数的求法(逐次求一阶导数）例5.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故确定的隐函数例6.求解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan)(2xy)(2sinxe2sinxe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinxe2cosx2sinxe112xx关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导1.2.3偏导数与全微分0),,(zyxF1.多元显函数求偏导和高阶偏导2.复合函数求偏导注意正确使用求导符号3.隐函数求偏导将其余变量固定，对该变量求导。zyzxFFyzFFxz,4.全微分zdyyxfxyxfyxd),(d),(5.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续例7.求223yyxxz解法1:xz)2,1(xz解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yxyzyx23)2,1(yz462xx1xz231yy2yz解：设zzyxzyxF4),,(222则,2xFxzxFFxz2zxzx242zFz,04222zzyx.xz求例8.设拉格朗日中值定理)()(bfaf1.2.4导数与微分的应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理0)(fxyoab)(xfy)()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF柯西中值定理xxF)(xyoab)(xfy0n函数单调性的判定及极值求法若定理1.设函数则在I内单调递增,)0)((xf(递减).在开区间I内可导,2.研究函数的性态:极值第一判别法,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf极值第二判别法二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.例9.确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21故的单调增区间为,)1,();,2(的单调减区间为).2,1(12xoy12例10.求函数的极值.解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.1xy1例11.把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd,)(2261bdb),0(db令)3(2261bdw得db31从而有1:2:3::bhd22bdhd32即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数凹弧凸弧的分界点为拐点)(3632xx例12.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32yxy0320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32)1,0(),(271132的连续性及导函数例13.填空题(1)设函数其导数图形如图所示,单调减区间为;极小值点为;极大值点为.)(xf),0(),,(21xx),(),0,(21xx21,xx0x提示:的正负作f(x)的示意图.单调增区间为;o2x1xyxox)(xf1x2xo)(xfx.在区间上是凸弧;拐点为),0(),,(21xx))0(,0(,))(,(,))(,(2211fxfxxfx提示:的正负作f(x)的示意图.形在区间上是凹弧;则函数f(x)的图(2)设函数的图形如图所示,),(),0,(21xx)(xfo2x1xyx2x1x