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习题311验证罗尔定理对函数ylnsinx在区间]65,6[上的正确性解因为ylnsinx在区间]65,6[上连续在)65,6(内可导且)65()6(yy,所以由罗尔定理知至少存在一点)65,6(使得y()cot0由y(x)cotx0得)65,6(2因此确有)65,6(2使y()cot02验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间[01]上的正确性解因为y4x35x2x2在区间[01]上连续在(01)内可导由拉格朗日中值定理知至少存在一点(01)使001)0()1()(yyy由y(x)12x210x10得)1,0(12135x因此确有)1,0(12135使01)0()1()(yyy3对函数f(x)sinx及F(x)xcosx在区间]2,0[上验证柯西中值定理的正确性解因为f(x)sinx及F(x)xcosx在区间]2,0[上连续在)2,0(可导且F(x)1sinx在)2,0(内不为0所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(使得)()()0()2()0()2(FfFFff令)0()2()0()2()()(FFffxFxf即22sin1cosxx化简得14)2(8sin2x易证114)2(802所以14)2(8sin2x在)2,0(内有解即确实存在)2,0(,使得)()()0()2()0()2(FfFFff4试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间证明因为函数ypx2qxr在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导由拉格朗日中值定理至少存在一点(ab)使得y(b)y(a)y()(ba)即(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba)化间上式得p(ba)(ba)2p(ba)故2ba5不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数，说明方程f(x)0有几个实根并指出它们所在的区间解由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0所以由罗尔定理可知存在1(12)使f(1)0同理存在2(23)使f(2)0存在3(34)使f(3)0显然1、2、3都是方程f(x)0的根注意到方程f(x)0是三次方程它至多能有三个实根现已发现它的三个实根故它们也就是方程f(x)0的全部根6证明恒等式2arccosarcsinxx(1x1)证明设f(x)arcsinxarccosx因为01111)(22xxxf所以f(x)C其中C是一常数因此2arccosarcsin)0()(xxfxf即2arccosarcsinxx7若方程a0xna1xn1an1x0有一个正根x0证明方程a0nxn1a1(n1)xn2an10必有一个小于x0的正根证明设F(x)a0xna1xn1an1x由于F(x)在[0x0]上连续在(0x0)内可导且F(0)F(x0)0根据罗尔定理至少存在一点(0x0)使F()0即方程a0nxn1a1(n1)xn2an10必有一个小于x0的正根8若函数f(x)在(ab)内具有二阶导数且f(x1)f(x2)f(x3)其中ax1x2x3b证明在(x1x3)内至少有一点使得f()0证明由于f(x)在[x1x2]上连续在(x1x2)内可导且f(x1)f(x2)根据罗尔定理至少存在一点1(x1x2)使f(1)0同理存在一点2(x2x3)使f(2)0又由于f(x)在[12]上连续在(12)内可导且f(1)f(2)0根据罗尔定理至少存在一点(12)(x1x3)使f()09设ab0n1证明nbn1(ab)anbnnan1(ab)证明设f(x)xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)因为nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)10设ab0证明bbabaabaln证明设f(x)lnx则f(x)在区间[ba]上连续在区间(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即)(1lnlnbaba因为ba所以)(1lnln)(1babbabaa即bbabaabaln11证明下列不等式(1)|arctanaarctanb||ab|(2)当x1时exex证明(1)设f(x)arctanx则f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使f(b)f(a)f()(ba)即)(11arctanarctan2abab所以||||11|arctanarctan|2ababab即|arctanaarctanb||ab|(2)设f(x)ex则f(x)在区间[1x]上连续在区间(1x)内可导由拉格朗日中值定理存在(1x)使f(x)f(1)f()(x1)即exee(x1)因为1所以exee(x1)e(x1)即exex12证明方程x5x10只有一个正根证明设f(x)x5x1则f(x)是[0)内的连续函数因为f(0)1f(1)1f(0)f(1)0所以函数在(01)内至少有一个零点即x5x10至少有一个正根假如方程至少有两个正根则由罗尔定理f(x)存在零点但f(x)5x410矛盾这说明方程只能有一个正根13设f(x)、g(x)在[ab]上连续在(ab)内可导证明在(ab)内有一点使)()()()()()()()()(gagfafabbgagbfaf解设)()()()()(xgagxfafx则(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使(b)(a)()(ba)即)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(gagfafgagfafabagagafafbgagbfaf因此)()()()()()()()()(gagfafabbgagbfaf14证明若函数f(x)在()内满足关系式f(x)f(x)且f(0)1则f(x)ex证明令xexfx)()(则在()内有0)()()()()(2222xxxxeexfexfeexfexfx所以在()内(x)为常数因此(x)(0)1从而f(x)ex15设函数yf(x)在x0的某邻域内具有n阶导数且f(0)f(0)f(n1)(0)0试用柯西中值定理证明!)()()(nxfxxfnn(01)证明根据柯西中值定理111)(0)0()()(nnnfxfxfxxf(1介于0与x之间)2221111111)1()(0)0()()(nnnnnnfnnffnf(2介于0与1之间)3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(nnnnnnnfnnnnffnnf(3介于0与2之间)依次下去可得!)(02)1(2)1()0()(2)1()()(1)1(1)1(11)1(nfnnnnffnnfnnnnnnnnn(n介于0与n1之间)所以!)()()(nfxxfnnn由于n可以表示为nx(01)所以!)()()(nxfxxfnn(01)