34

习题341判定函数f(x)arctanxx单调性解因为011111)(22xxxf且仅当x0时等号成立所以f(x)在()内单调减少2判定函数f(x)xcosx(0x2)的单调性解因为f(x)1sinx0所以f(x)xcosx在[02]上单调增加3确定下列函数的单调区间(1)y2x36x218x7(2)xxy82(x0)(3)xxxy6941023(4))1ln(2xxy(5)y(x1)(x1)3(6))0())(2(32axaaxy(7)yxnex(n0x0)(8)yx|sin2x|解(1)y6x212x186(x3)(x1)0令y0得驻点x11x23列表得可见函数在(1]和[3)内单调增加在[13]内单调减少(2)0)2)(2(28222xxxxy令y0得驻点x12x22(舍去)因为当x2时y0当0x2时y0所以函数在(02]内单调减少在[2)内单调增加(3)223)694()1)(12(60xxxxxy令y0得驻点211xx21不可导点为x0列表得x(0)0(021)21(211)1(1)y不存在00y↘↘0↗↘x(1)1(13)3(3)y00y↗↘↗可见函数在(0)]21,0([1)内单调减少在]1,21[上单调增加(4)因为011)1221(11222xxxxxy所以函数在()内单调增加(5)y(x1)33(x1)(x1)22)1)(21(4xx因为当21x时y0当21x时y0所以函数在]21,(内单调减少在),21[内单调增加(6)32)()2(3)32(xaaxaxy驻点为321ax不可导点为22axx3a列表得x)2,(a2a)32,2(aa32a),32(aaa(a)y+不存在+0不存在y↗↗↘↗可见函数在)2,(a]32,2(aa(a)内单调增加在),32[aa内单调减少(7)yexxn1(nx)驻点为xn因为当0xn时y0当xn时y0所以函数在[0n]上单调增加在[n)内单调减少(8)kxkxxkxkxxy22sin22sin(k012)kxkxkxkxy22cos2122cos21(k012)y是以为周期的函数在[0]内令y0得驻点21x652x不可导点为23x列表得x)3,0(3)2,3(2)65,2(65),65(y+0不存在0y↗↘↗↘根据函数在[0]上的单调性及y在()的周期性可知函数在]32,2[kk上单调增加在]22,32[kk上单调减少(k012)4证明下列不等式(1)当x0时xx1211(2)当x0时221)1ln(1xxxx(3)当20x时sinxtanx2x(4)当20x时331tanxxx(5)当x4时2xx2证明(1)设xxxf1211)(则f(x)在[0)内是连续的因为xxf12121)(01211xx所以f(x)在(0)内是单调增加的从而当x0时f(x)f(0)0即01211xx也就是xx1211(2)设221)1ln(1)(xxxxxf则f(x)在[0)内是连续的因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222xxxxxxxxxxxxf所以f(x)在(0)内是单调增加的从而当x0时f(x)f(0)0即01)1ln(122xxxx也就是221)1ln(1xxxx(3)设f(x)sinxtanx2x则f(x)在)2,0[内连续f(x)cosxsec2x2xxxx22cos]cos)1)[(cos1(cos因为在)2,0(内cosx10cos2x10cosx0所以f(x)0从而f(x)在)2,0(内单调增加因此当20x时f(x)f(0)0即sinxtanx2x0也就是sinxtanx2x(4)设331tan)(xxxxf则f(x)在)2,0[内连续))(tan(tantan1sec)(2222xxxxxxxxxf因为当20x时tanxxtanxx0所以f(x)在)2,0(内单调增加因此当20x时f(x)f(0)0即031tan3xxx也就是231tanxxx(5)设f(x)xln22lnx则f(x)在[4)内连续因为0422ln224ln22ln)(exxxf所以当x4时f(x)0即f(x)内单调增加因此当x4时f(x)f(4)0即xln22lnx0也就是2xx25讨论方程lnxax(其中a0)有几个实根？解设f(x)lnxax则f(x)在(0)内连续xaxaxxf11)(驻点为ax1因为当ax10时f(x)0所以f(x)在)1,0(a内单调增加当ax1时f(x)0所以f(x)在),1(a内单调减少又因为当x0及x时f(x)所以如果011ln)1(aaf即ea1则方程有且仅有两个实根如果011ln)1(aaf即ea1则方程没有实根如果011ln)1(aaf即ea1则方程仅有一个实根6单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子f(x)xsinx解单调函数的导函数不一定为单调函数例如f(x)xsinx在()内是单调增加的但其导数不是单调函数事实上f(x)1cosx0这就明f(x)在()内是单调增加的f(x)sinx在()内不保持确定的符号故f(x)在()内不是单调的习题347判定下列曲线的凹凸性(1)y4xx2(2)yshx(3)xy11(x0)(4)yxarctanx解(1)y42xy2因为y0所以曲线在()内是凸的(2)ychxyshx令y0得x0因为当x0时yshx0当x0时yshx0所以曲线在(0]内是凸的在[0)内是凹的(3)21xy32xy因为当x0时y0所以曲线在(0)内是凹的(4)21arctanxxxy22)1(2xy因为在()内y0所以曲线yxarctgx在()内是凹的8求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间(1)yx35x23x5(2)yxex(3)y(x1)4ex(4)yln(x21)(5)yearctanx(6)yx4(12lnx7)解(1)y3x210x3y6x10令y0得35x因为当35x时y0当35x时y0所以曲线在]35,(内是凸的在),35[内是凹的拐点为)2720,35((2)yexxexyexexxexex(x2)令y0得x2因为当x2时y0当x2时y0所以曲线在(2]内是凸的在[2)内是凹的拐点为(22e2)(3)y4(x1)3exy12(x1)2ex因为在()内y0所以曲线y(x1)4ex的在()内是凹的无拐点(4)122xxy22222)1()1)(1(2)1(22)1(2xxxxxxxy令y0得x11x21列表得可见曲线在(1]和[1)内是凸的在[11]内是凹的拐点为(1ln2)和(1ln2)(5)2arctan11xeyx)21(12arctanxxeyx令y0得21x因为当21x时y0当21x时y0所以曲线yearctgx在]21,(内是凹的在),21[内是凸的拐点是),21(21arctane(6)y4x3(12lnx7)12x3y144x2lnx令y0得x1因为当0x1时y0当x1时y0所以曲线在(01]内是凸的在[1)内是凹的拐点为(17)9利用函数图形的凹凸性证明下列不等式(1)nnnyxyx)2()(21(x0y0xyn1)(2))(22yxeeeyxyx(3)2ln)(lnlnyxyxyyxx(x0y0xy)证明(1)设f(t)tn则f(t)ntn1f(t)n(n1)tn2因为当t0时f(t)0所以曲线f(t)tn在区间(0)内是凹的由定义对任意的x0y0xy有)2()]()([21yxfyfxf即nnnyxyx)2()(21(2)设f(t)et则f(t)etf(t)et因为f(t)0所以曲线f(t)et在()内是凹的由定义对任意的xy()xy有x(1)1(11)1(1)y00yln2拐点ln2拐点)2()]()([21yxfyfxf即)(22yxeeeyxyx(3)设f(t)tlnt则f(t)lnt1ttf1)(因为当t0时f(t)0所以函数f(t)tlnt的图形在(0)内是凹的由定义对任意的x0y0xy有)2()]()([21yxfyfxf即2ln)(lnlnyxyxyyxx10试证明曲线112xxy有三个拐点位于同一直线上证明222)1(12xxxy323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662xxxxxxxxy令y0得x11322x323x例表得x(1)1)32,1(32)32,32(32),32(y000y1)32(431)32(431可见拐点为(11)))32(431,32())32(431,32(因为41)1(32)1()32(43141)1(32)1()32(431所以这三个拐点在一条直线上11问a、b为何值时点(13)为曲线yax3bx2的拐点？解y3ax22bxy6ax2b要使(13)成为曲线yax3bx2的拐点必须y(