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习题351求函数的极值(1)y2x36x218x7(2)yxln(1x)(3)yx42x2(4)xxy1(5)25431xxy(6)144322xxxxy(7)yexcosx(8)xxy1(9)31)1(23xy(10)yxtanx解(1)函数的定义为()y6x212x186(x22x3)6(x3)(x1)驻点为x11x23列表x(1)1(13)3(3)y00y↗17极大值↘47极小值↗可见函数在x1处取得极大值17在x3处取得极小值47(2)函数的定义为(1)xxxy1111驻点为x0因为当1x0时y0当x0时y0所以函数在x0处取得极小值极小值为y(0)0(3)函数的定义为()y4x34x4x(x21)y12x24令y0得x10x21x31因为y(0)40y(1)80y(1)80所以y(0)0是函数的极小值y(1)1和y(1)1是函数的极大值(4)函数的定义域为(1])112(1243121121211xxxxxxy令y0得驻点43x因为当43x时y0当143x时y0所以45)1(y为函数的极大值(5)函数的定义为()32)54()512(5xxy驻点为512x因为当512x时y0当512x时y0所以函数在512x处取得极大值极大值为10205)512(y(6)函数的定义为()22)1()2(xxxxy驻点为x10x22列表x(2)2(20)0(0)y00y↘38极小值↗极大值↘可见函数在x2处取得极小值38在x0处取得极大值4(7)函数的定义域为()yex(cosxsinx)yexsinx令y0得驻点kx24)1(24kx(k012)因为0)24(ky所以22)24(24keky是函数的极大值因为y0])1(24[k所以22])1(24[)1(24keky是函数的极小值(8)函数xxy1的定义域为(0))ln1(121xxxyx令y0得驻点xe因为当xe时y0当xe时y0所以eeey1)(为函数f(x)的极大值(9)函数的定义域为()3/2)1(132xy因为y0所以函数在()是单调减少的无极值(10)函数yxtgx的定义域为kx2(k012)因为y1sec2x0所以函数f(x)无极值2试证明如果函数yax3bx2cxd满足条件b23ac0那么这函数没有极值证明y3ax22bxc由b23ac0知a0于是配方得到y3ax22bxcabacabxaacxabxa33)3(3)332(32222因3acb20所以当a0时y0当a0时y0因此yax3bx2cxd是单调函数没有极值3试问a为何值时函数xxaxf3sin31sin)(在3x处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值解f(x)acosxcos3xf(x)asinx3sinx要使函数f(x)在3x处取得极值必有0)3(f即0121aa2当a2时0232)3(f因此当a2时函数f(x)在3x处取得极值而且取得极大值极大值为3)23(f4求下列函数的最大值、最小值(1)y=2x33x21x4(2)yx48x221x3(3)xxy15x1解(1)y6x26x6x(x1)令y0得x10x21计算函数值得y(1)5y(0)0y(1)1y(4)80经比较得出函数的最小值为y(1)5最大值为y(4)80(2)y4x316x4x(x24)令y0得x10x22(舍去)x32计算函数值得y(1)5y(0)2y(2)14y(3)11经比较得出函数的最小值为y(2)14最大值为y(3)11(3)xy1211令y0得43x计算函数值得65)5(y45)43(yy(1)经比较得出函数的最小值为65)5(y最大值为45)43(y5问函数y2x36x218x7(1x4)在何处取得最大值？并求出它的最大值解y6x212x186(x3)(x1)函数f(x)在1x4内的驻点为x3比较函数值f(1)29f(3)61f(4)47函数f(x)在x1处取得最大值最大值为f(1)296问函数xxy542(x0)在何处取得最小值？解2542xxy在(0)的驻点为x3因为31082xy0271082)3(y所以函数在x3处取得极小值又因为驻点只有一个所以这个极小值也就是最小值即函数在x3处取得最小值最小值为27)3(y7问函数12xxy(x0)在何处取得最大值？解222)1(1xxy函数在(0)内的驻点为x1因为当0x1时y0当x1时y0所以函数在x1处取得极大值又因为函数在(0)内只有一个驻点所以此极大值也是函数的最大值即函数在x1处取得最大值最大值为f(1)218某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋现有存砖只够砌20cm长的墙壁问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x长为y则2xy20y202x于是面积为Sxyx(202x)20x2x2S204x4(10x)S4令S0得唯一驻点x10因为S(10)40所以x10为极大值点从而也是最大值点当宽为5米长为10米时这间小屋面积最大9要造一圆柱形油罐体积为V问底半径r和高h等于多少时才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由Vr2h得hV1r2于是油罐表面积为S2r22rhrVr222(0x)224rVrS令S0得驻点32Vr因为0443rVS所以S在驻点32Vr处取得极小值也就是最小值这时相应的高为rrVh220底直径与高的比为2rh1110某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图)截面的面积为5m2问底宽x为多少时才能使截面的周长最小从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h截面的周长S则5)2(212xxhxxh85于是xxxxhxS10422(400x)21041xS令S0得唯一驻点440x因为0203xS所以440x为极小值点同时也是最小值点因此底宽为440x时所用的材料最省11设有重量为5kg的物体置于水平面上受力F的作用而开始移动(如图)设摩擦系数025问力F与水平线的交角为多少时才可使力F的大小为最小？解由Fcos(mFsin)得sincosmF(20)2)sin(cos)cos(sinmF驻点为arctan因为F的最小值一定在)2,0(内取得而F在)2,0(内只有一个驻点arctan所以arctan一定也是F的最小值点从而当arctan02514时力F最小12有一杠杆支点在它的一端在距支点01m处挂一重量为49kg的物体加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图)如果杠杆的线密度为5kg/m求最省力的杆长?解设杆长为x(m)加于杠杆一端的力为F则有1.049521xxxF即)0(9.425xxxF29.425xF驻点为x14由问题的实际意义知F的最小值一定在(0)内取得而F在(0)内只有一个驻点x14所以F一定在x14m处取得最小值即最省力的杆长为14m13从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图)问留下的扇形的中心角取多大时做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l、底半径r、高h分别为lR2Rr222242RrRh漏斗的容积为22223242431RhrV(02)2222234)38(24RV，驻点为362由问题的实际意义V一定在(02)内取得最大值而V在(02)内只有一个驻点所以该驻点一定也是最大值点因此当362时漏斗的容积最大14某吊车的车身高为15m吊臂长15m现在要把一个6m宽、2m高的屋架水平地吊到6m高的柱子上去(如图)问能否吊得上去？解设吊臂对地面的倾角为时屋架能够吊到的最大高度为h在直角三角形EDG中15sin(h15)23tan故21tan3sin15h2cos3cos15h令h0得唯一驻点5451arccos3因为0cossin6sin153h所以54为极大值点同时这也是最大值点当54时5.721tan3sin15hm所以把此屋最高能水平地吊至75m高现只要求水平地吊到6m处当然能吊上去15一房地产公司有50套公寓要出租当月租金定为1000元时公寓会全部租出去当月租金每增加50元时就会多一套公寓租不出去而租出去的公寓每月需花费100元的维修费试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x元纯收入为R元当x1000时R50x5010050x5000且当x1000时得最大纯收入45000元当x1000时700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2xxxxxR72251xR令R0得(1000)内唯一驻点x1800因为0251R所以1800为极大值点同时也是最大值点最大值为R57800因此房租定为1800元可获最大收入