3正弦交流电路

3、正弦交流电路考试点一•1、掌握正弦量的三要素和有效值•2、掌握电感、电容元件电流电压关系的相量形式及基尔霍夫定律的相量形式•3、掌握阻抗、导纳、有功功率、无功功率、视在功率和功率因数的概念•4、熟练掌握正弦电路分析的相量方法•5、了解频率特性的概念预备知识——复数一、复数的形式1、代数形式F=a+jb1j为虚单位复数F的实部Re[F]=a复数F的虚部Im[F]=b复数F在复平面上可以用一条从原点O指向F对应坐标点的有向线段表示。+1+jOFab2、三角形式)sin(cosjFF22baFabarctan模辐角+1+jOFab5/-53.1°3、指数形式根据欧拉公式sincosjej)sin(cosjFFjeFF4、极坐标形式F=|F|/θ3+j4=5/53.1°-3+j4=×=5/126.9°10/30°=10(cos30°+jsin30°)=8.66+j5二、复数的运算1、加法用代数形式进行，设111jbaF222jbaF)()(221121jbajbaFF+1+jO1F2F21FF)()(2121bbjaa几何意义2、减法用代数形式进行，设111jbaF222jbaF)()(221121jbajbaFF+1+jO1F2F2F21FF21FF)()(2121bbjaa几何意义3、乘法用极坐标形式比较方便设111||FF222||FF221121FFFF2121/FF4、除法21FF11||F22||F2121/FF三、旋转因子je/1是一个模等于1，辐角为θ的复数。等于把复数A逆时针旋转一个角度θ，而A的模值不变。2jej2je-jje-1因此，“±j”和“-1”都可以看成旋转因子。任意复数A乘以ejθ一个复数乘以j，等于把该复数逆时针旋转π/2，一个复数除以j，等于把该复数乘以-j，等于把它顺时针旋转π/2。虚轴等于把实轴+1乘以j而得到的。例如例：设F1=3-j4，F2=10/135°求:F1+F2和F1/F2。解：求复数的代数和用代数形式：F2=10/135°=10（cos135°+jsin135°)=-7.07+j7.07F1+F2=(3-j4)+(-7.07+j7.07)=-4.07+j3.07=5.1/143°F1F2=3-j410/135°=5/-53.1°10/135°=0.5/-188.1°=0.5/171.9°辐角应在主值范围内正弦量的概念一、正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的描述，可以用sine，也可以用cosine。用相量法分析时，不要两者同时混用。本讲采用cosine。二、正弦量的三要素i+-u)cos(imtIi瞬时值表达式：1、振幅（最大值）ImiIm2πωtiOπ2π正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。2、角频率ω反映正弦量变化的快慢单位rad/sωT=2πω=2πff=1/T频率f的单位为赫兹（Hz）周期T的单位为秒（s）工频，即电力标准频率：f=50Hz,T=0.02sω=314rad/s3、初相位（角）i主值范围内取值180iiIm2πωtiOπ2π)(it称为正弦量的相位，或称相角。三、正弦量的有效值TdefdtiTI021TidefdttTI022)(cosIm12)](2cos[1)(cos2iittmmIII707.02/2mII2mUU2mEE四、同频率正弦量相位的比较)cos(imtIi)cos(umtUu相位差iu相位差也是在主值范围内取值。φ0，称u超前i；φ0，称u落后i；φ=0，称u,i同相；φ=π/2，称u，i正交；φ=π，称u，i反相。例：i=10sin(314t+30°)Au=5cos(314t-150°)V求电压和电流的相位差。180)150(30i=10sin(314t+30°)=10cos(314t+30°-90°)=10cos(314t-60°)90)150(60正弦量相应符号的正确表示瞬时值表达式i=10cos(314t+30°)A变量，小写字母有效值I=A210常数，大写字母加下标m最大值常数，大写字母最大值相量mI有效值相量A/3010I30/210A30/25常数，大写字母加下标m再加点常数，大写字母加点Im=10A电路定律的相量形式一、基尔霍夫定律正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频正弦量，所以可以用相量法将KCL和KVL转换为相量形式。1、基尔霍夫电流定律对电路中任一点，根据KCL有Σi=0其相量形式为0I2、基尔霍夫电压定律对电路任一回路，根据KVL有Σu=0其相量形式为0U1、电阻元件瞬时值表达式+-R+-RRiRuRRRiu相量形式RIRURRIRURIRUiu+1+jO相量图二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式2、电感元件L+-LiLudtdiLuL相量形式LLILjUL+-LILULILUiu+1+jO相量图瞬时值表达式3、电容元件瞬时值表达式C+-CiCudtduCiCC相量形式C+-CICUCCUCjI)1(CCICjU或CICUiu+1+jO相量图如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。kU0kIjIjU4、受控源ku0kijiju例：正弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率ω=103rad/s，R=3Ω，L=1H，C=1μF。求电压uad和ubd。Siabcdi+++---RuLuCu解：画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图SIabc+++---RULUCUdIRjωLCj1设电路的电流相量为参考相量SIabc+++---RULUCUdIRjωLCj10/5SII即令IRURILjULICjUC1=15/0°V=5000/90°V=5000/-90°VCLbdUUU0/15bdRadUUU=00bdu15adu)10cos(3t)10cos(23tARRIRULLILjUCCICjU1相量法的三个基本公式以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件下得到的；如果为非关联参考方向，则以上各式要变号。以上公式既包含电压和电流的大小关系，又包含电压和电流的相位关系。阻抗和导纳一、阻抗1、定义No+-UIIUZiuIU/ZZ/阻抗模|Z|=U/I阻抗角iuZ阻抗Z的代数形式可写为Z=R+jX其实部为电阻，虚部为电抗。2、R、L、C对应的阻抗分别为：RZRLjZLCjZC13、感抗和容抗感抗LXL容抗CXC1反映电感对电流的阻碍作用反映电容对电流的阻碍作用4、RLC串联电路如果No内部为RLC串联电路，则阻抗Z为IUZCjLjR1)1(CLjRjXRZZ/22XRZ)arctan(RXZRX|Z|Z阻抗三角形当X0，称Z呈感性；当X0，称Z呈容性；当X=0，称Z呈电阻性电路的性质Z=R+jX二、导纳1、定义UIYuiUI/YY/导纳模|Y|=I/U导纳角uiY导纳Y的代数形式可写为Y=G+jB其实部为电导，虚部为电纳。2、单个元件R、L、C的导纳RGYR1LjLjYR11CjYC3、感纳和容纳感纳LBL1容纳CBC阻抗（导纳）的串联和并联一、阻抗的串联对于n个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗neqZZZZ21各个阻抗的电压分配为,UZZUeqkk,个阻抗的电压为第kUk.为总电压Uk=1,2,…，n二、阻抗的并联对n个导纳并联而成的电路，其等效导纳neqYYYY21各个导纳的电流分配为,IYYIeqkk,个阻抗的电流为第kIk.为总电流Ik=1,2,…，n例：如图RLC串联电路。R=15，L=12mH，C=5F，端电压u=141.4cos(5000t)V。求：i，各元件的电压相量。解：用相量法。)(0100VU)/(5000sradCjLjRZ1)1055000110125000(1563j)(53.13252015j)(53.13453.13250100AZUIRIUR)(53.1360V1553.134)(87.36240VILjUL)(13.1431601VCjIUCi(t)=42cos(5000t-53.13o)A电路的相量图一、相量图相关的电压和电流相量在复平面上组成。在相量图上，除了按比例反映各相量的模外，最重要的是确定各相量的相位关系。二、相量图的画法选择某一相量作为参考相量，而其他有关相量就根据它来加以确定。参考相量的初相可取为零，也可取其他值，视不同情况而定。1、串联电路取电流为参考相量，从而确定各元件的电压相量；表达KVL的各电压相量可按向量求和的方法作出。2、并联电路取电压为参考相量，从而确定各元件的电流相量；表达KCL的各电流相量可按向量求和的方法作出。3、串并联电路从局部开始)(53.134AI)(87.36240VUL)(13.143160VUCRUIUCULUCLUU53.1°以上一节中例题为例)(13.5360VURV1V2V1读数为10V，V2读数为10V，V0的读数为？V01U+-2U+-IV0的读数为14.14VI1U2U0U+-0U正弦稳态电路的分析在用相量法分析计算时，引入正弦量的相量、阻抗、导纳和KCL、KVL的相量形式，它们在形式上与线性电阻电路相似。0i0u0I0URiuGuiIZUUYI对于电阻电路有：对于正弦电流电路有：用相量法分析时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定理可推广用于线性电路的正弦稳态分析差别仅在于所得电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定理，而计算则为复数运算。例：电路中的独立电源全都是同频正弦量。试列出该电路的结点电压方程。1Z2Z3Z4Z5Z1SU3SU5SI12解：电路的结点电压方程为1nU2nU1nU2nU)(321YYY3Y-11SUY33SUY++3Y-)(543YYY+)(43YY33SUY5SI-+正弦稳态电路的功率一、瞬时功率N+u-i一端口内部不含独立电源，仅含电阻、电感和电容等无源元件。它吸收的瞬时功率p等于电压u和电流i的乘积p=ui二、平均功率又称有功功率，是指瞬时功率在一个周期内的平均值。TpdtTP01TiudttUIT0)]2cos([cos1cosIU功率因数cos单位：瓦（W）电阻R0λ=122GURIUIPR电感L90λ=00LP电容C90λ=00CP定义：三、无功功率sinUIQdef反映了内部与外部往返交换能量的情况。单位：乏（Var)电阻R00RQ电感L90LULIUIQL22电容C90221CUICUIQC四、视在功率UISdef电机和变压器的容量是由视在功率来表示的。单位：伏安（VA）有功功率P、无功功率Q和视在功率S存在下列关系：cosSPsinQ22QPS)arctan(PQ例：测量电感线圈R、L的实验电路，已知电压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表读数