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习题541.判别下列各反常积分的收敛性,如果收敛,计算反常积分的值:(1)14xdx;解因为3131)31(lim3131314xxxdxx,所以反常积分14xdx收敛,且3114xdx.(2)1xdx;解因为22lim211xxxdxx,所以反常积分1xdx发散.(3)dxeax0(a0);解因为aaeaeadxeaxxaxax11)1(lim100,所以反常积分dxeax0收敛,且adxeax10.(4)0chtdtept(p1);解因为1]1111[21][21ch20)1()1(0)1()1(0ppepepdteetdtetptptptppt,所以反常积分0chtdtept收敛,且1ch20pptdtept.(5)0sintdtept(p0,0);解00cos1sintdetdteptpt0200sin1)(cos1cos1tdepdtpetteptptpt0202)(sinsin1dtpetptepptpt022sin1tdteppt,所以220sinwptdtept.(6)222xxdx;解)2(2)1arctan()1(12222xxdxxxdx.(7)dxxx1021;解这是无界函数的反常积分,x1是被积函数的瑕点.11)1(lim1121102102xxdxxxx.(8)202)1(xdx;解这是无界函数的反常积分,x1是被积函数的瑕点.因为212102202)1()1()1(xdxxdxxdx,而111lim11)1(110102xxxdxx,所以反常积分202)1(xdx发散.(9)211xxdx;解这是无界函数的反常积分,x1是被积函数的瑕点.21232121]12)1(32[)111(1xxdxxxxxdx322]12)1(32[lim38231xxx.(10)exxdx12)(ln1.解这是无界函数的反常积分,xe是被积函数的瑕点.2)arcsin(lnlim)arcsin(lnln)(ln11)(ln111212xxxdxxxdxexeee.2.当k为何值时,反常积分0)(lnkxxdx收敛?当k为何值时,这反常积分发散?又当k为何值时,这反常积分取得最小值?解当k1时,2122)(ln11ln)(ln1)(lnkkkxkxdxxxdx;当k1时,222)ln(lnlnln1)(lnxxdxxxdxk;当k1时,kkkkkxkxdxxxdx12122)2(ln11)(ln11ln)(ln1)(ln.因此当k1时,反常积分0)(lnkxxdx收敛;当k1时,反常积分0)(lnkxxdx发散.当k1时,令kkkxxdxkf10)2(ln11)(ln)(,则)2lnln11()1(2lnln)2(ln2lnln)2(ln11)2(ln)1(1)(21112kkkkkfkkk.令f(k)0得唯一驻点2lnln11k.因为当2lnln111k时f(k)0,当2lnln11k时f(k)0,所以2lnln11k为极小值点,同时也是最小值点,即当2lnln11k时,这反常积分取得最小值3.利用递推公式计算反常积分0dxexIxnn.解因为101000nxnxnxnxnnnIdxexnexdexdxexI,所以Inn(n1)(n2)2I1.又因为1000001xxxxxedxexexdedxxeI,所以Inn(n1)(n2)2I1n!.