7空间解析几何与向量代数习题课

第七章空间解析几何和向量代数习题课机动目录上页下页返回结束（一）向量代数（二）空间解析几何一、主要内容机动目录上页下页返回结束向量的线性运算向量的线性运算向量的表示法向量的表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数机动目录上页下页返回结束直线直线曲面曲面曲线曲线平面平面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱面柱面二次曲面二次曲面投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线一般方程一般方程对称式方程对称式方程点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何机动目录上页下页返回结束空间平面一般式点法式截距式0=+++DCzByAx)0(222≠++CBA1=++czbyax三点式0131313121212111=−−−−−−−−−zzyyxxzzyyxxzzyyxx1.空间直线与平面的方程),,(:000zyx点0)()()(000=−+−+−zzCyyBxxA),,(:CBAn=法向量机动目录上页下页返回结束为直线的方向向量.空间直线一般式对称式参数式⎩⎨⎧=+++=+++0022221111DzCyBxADzCyBxA⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tpzztnyytmxx000pzznyymxx000−=−=−),,(000zyx},,{pnms=为直线上一点;机动目录上页下页返回结束面与面的关系0212121=++CCBBAA212121CCBBAA==平面平面垂直:平行:夹角公式:2.线面之间的相互关系},,{,0:111111111CBAnDzCyBxA==+++Π},,{,0:222222222CBAnDzCyBxA==+++Π021=⋅nn021=×nn2121θcosnnnn⋅=机动目录上页下页返回结束,1111111pzznyymxxL−=−=−：直线0212121=++ppnnmm,2222222pzznyymxxL−=−=−：212121ppnnmm==线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:},,{1111pnms=},,{2222pnms=021=⋅ss021=×ss2121cosssss⋅=θ机动目录上页下页返回结束CpBnAm==平面:垂直：平行：夹角公式：0=++CpBnAm面与线间的关系直线:},,{,0CBAnDCzByAx==+++},,{,pnmspzznyymxx=−=−=−0=×ns0=⋅nsnsns⋅=ϕsin机动目录上页下页返回结束3.相关的几个问题(1)过直线⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束方程)(1111DzCyBxA+++0)(2222=++++DzCyBxAλ机动目录上页下页返回结束(2)点的距离为DzCyBxA+++000=222CBA++到平面Π：Ax+By+Cz+D=0),,(0000zyxMΠd0M1MnrnnMMd⋅=01机动目录上页下页返回结束kji),,(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:−=−=−为(3)点2221pnm++=010101zzyyxx−−−pnmdϕssMMd×=10},,{pnms=),,(1111zyxM),,(0000zyxML机动目录上页下页返回结束(4)异面直线之间的距离已知两直线;:111vPL方向向量为，过点则;:222vPL方向向量为，过点共面与21LL⇔异面与21LL⇔0)(2121=×⋅vvPPrr0)(2121≠×⋅vvPPrr，则它们之间的距离为异面与若21LL|||)(|212121vvvvPPdrrrr××⋅=机动目录上页下页返回结束(5)空间曲线在坐标面上的投影作业习题6-8(P54)1，2，3，5，7，8，9，10，11，13，14，19，22例1解共面．且，使，求一单位向量，已知bancnnkjickjbiarrrrrrrrrrrrrrr,,,22,2000⊥+−=−==,0kzjyixnrrrr++=设由题设条件得10=nrcnrr⊥0banrrr×⊥0⎪⎩⎪⎨⎧=+=+−=++020221222zyzyxzyx解得).323132(0kjinrrrr−+±=二、典型例题机动目录上页下页返回结束设向量ar平行于}4,4,7{−−=br}2,1,2{−−=cr的夹角平分线，且65||=ar，求ar。例2解,9||=br3||=cr,}94,94,97{0−−=br}32,31,32{0−−=cr}92,97,91{00−=+cbrr则ar//}632,637,631{)(000−=+cbrr所以0ar=0||aaarrr=故}632,637,631{65−±=机动目录上页下页返回结束向量dr垂直于}1,3,2{−=ar，}3,2,1{−=br，且dr与}1,1,2{−=cr的内积为6−，求dr。例3解1机动目录上页下页返回结束,},,{zyxd=r设由条件⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+−=−[phone]zyxzyxzyx解得⎪⎩⎪⎨⎧==−=333zyx解2)(badrrr×=λ设}7,7,7{λλλ−−=6−=⋅cdrr又由73−=λ解得}3,3,3{−=dr故以向量ar与br为边做平行四边形，试用ar与br表示ar边上的高向量。例4解：如右图机动目录上页下页返回结束arbrhr1ar1abhrrr−=0)cos|(|abbrrrθ−=||||aaababrrrrrr⋅⋅−=aababrrrrr⋅⋅−=2||则高向量为)||(2aababrrrrr⋅⋅−±241312−=−=−zyx例5.求直线与平面062=−++zyx的交点.解:化直线方程为参数方程代入平面方程得1−=t从而确定交点为（1，2，2）.⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tztytx2432t=机动目录上页下页返回结束例6.设一平面平行于已知直线⎩⎨⎧=+−+=−0502zyxzx且垂直于已知平面,0347=−+−zyx求该平面法线的的方向余弦.解:已知平面的法向量已知直线的方向向量取所求平面的法向量,513cos=α504cos,505cos−==γβ1nsn×=}4,1,7{1−=n}2,1,1{=s机动目录上页下页返回结束417211−=kji}4,5,3{2−=所求为例7.求与两平面x–4z=3和2x–y–5z=1的交线解:所求直线的方向向量可取为利用点向式可得方程43+x}1,3,4{−−−=401−512−−32−=y15−=z平行,且过点(–3,2,5)的直线方程.21nns×=kji=机动目录上页下页返回结束求平面01:=+++zyxπ上的直线l，它通过直线⎩⎨⎧=++=+0102:1zyzxl与平面π的交点，且与1l垂直，求l的方程。例8解1)0,1,0(1−得交点，和联立πl又由条件知的方向向量为：1l}1,1,0{}2,0,1{1×=vr}1,1,2{−−=的法向量为：π}1,1,1{=nrnlvlrr⊥⊥,1取l的方向向量为nvvrrr×=1}1,3,2{−−=故l的方程为103120−−=+=−−zyx机动目录上页下页返回结束求平面01:=+++zyxπ上的直线l，它通过直线⎩⎨⎧=++=+0102:1zyzxl与平面π的交点，且与1l垂直，求l的方程。例8解2)0,1,0(1−得交点，和联立πl过交点且与l1垂直的平面方程为故l的方程为机动目录上页下页返回结束的方向向量为：1l}1,1,0{}2,0,1{1×=vr}1,1,2{−−=012=−+−−zyx⎩⎨⎧=−+−−=+++01201zyxzyx例9.求过点(2,1,3)且与直线12131−=−=+zyx垂直相交的直线方程.解：先求二直线交点P.0)3()1(2)2(3=−−−+−zyx化已知直线方程为参数方程,代入①式,可得交点)73,713,72(−P最后利用两点式得所求直线方程431122−=−−=−zyx的平面的法向量为故其方程为①),,(312),,(011−),,(123−过已知点且垂直于已知直线,)1,2,3(−P机动目录上页下页返回结束求过点)4,0,1(−M，且与直线211:zyxl=−=+垂直相交的直线方程。例10解机动目录上页下页返回结束},,{11nmlvl=r为：的方向向量设所求直线ll⊥1Q)1(02=++∴nml,)0,1,1(−Nl上任取一点在,1相交与因ll，共面所以三向量MNnml,}2,1,1{,},,{则有)2(046=++−nml联立(1)，(2)得nmnl1013,107−=−=10413711−=−=−+zyxl为：的方程故所求直线思路:先求交点例11.求过点)1,1,1(0M,12:1⎩⎨⎧−==xzxyL且与两直线⎩⎨⎧−=−=1243:2xzxyL都相交的直线L.解1:21,LL将的方程化为参数方程⎪⎩⎪⎨⎧−=−==⎪⎩⎪⎨⎧−===1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M设L与它们的交点分别为.)12,43,(2222−−tttM再写直线方程.;,21MM),1,2,(1111−tttM机动目录上页下页返回结束2,021==tt)3,2,2(,)1,0,0(21=−=MM211111:−=−=−zyxL210,,MMM1)12(1)1(1)43(1211212121−−−−=−−−=−−tttttt三点共线2010//MMMML1L2L0M1M2M机动目录上页下页返回结束思路:例11.求过点)1,1,1(0M,12:1⎩⎨⎧−==xzxyL且与两直线⎩⎨⎧−=−=1243:2xzxyL都相交的直线L.解2:L1L2L0M分别求出过点M0，直线L1机动目录上页下页返回结束和过点M0，直线L2的平面方程两者联立即为所求直线方程。利用平面束方程去求。过直线L1的平面束方程为0)1(2=−−+−zxyxλ代入M0(1,1,1)，解得1=λ则)1(013=−−−zyx过直线L2的平面束方程为0)12(43=−−+−−zxyxλ代入M0(1,1,1)，无解。说明过点M0和直线L2的平面方程为)2(012=−−zx联立(1)，(2)即为所求。机动目录上页下页返回结束设一直线过点)2,1,2(0−P且与两条直线110111:1−=−=−zyxl，331112:2−+=−=−zyxl同时相交，求此直线方程。例12解机动目录上页下页返回结束，所确定的平面与直线先求出点110πlP，上在易知点11)1,1,1(lP，的方向向量为}1,0,1{11=vlr的法向量为因此1π101PPv×r}2,0,2{−=的方程为1π)1(0=−zx的方程为所确定的平面与直线同理求出点220πlP)2(125=++zyx联立(1)，(2)即为所求。求过点)4,0,1(−M，且平行于平面01043=−+−zyx，又与直线231:zyxl=−=+相交的直线方程。例13分析机动目录上页下页返回结束关键是求出直线与平面的交点或直线的方向向量解1：面方程为且与已知平面平行的平过点)4,0,1(−M0)4()0(4)1(3:=−+−−+zyxπ0143:=−+−zyxπ即)32,19,15(:Gl的交点为与直线平面π，其方程为所在直线即为所求直线MG28419161−==+zyx机动目录上页下页返回结束解2：tzyx==−=[phone]则交点的与已知直线为所求直线设,),,(1000llzyxG⎪⎩⎪⎨⎧=+=−=tztytx231000即：的方向向量为1l}42,3,{−+ttt所以，与已知平面平行因1l0}143{}42,3,{=−⋅−+，，ttt16:=t解得,)32,19,15(G则故所求直线方程为28419161−==+zyx机动目录上页下页返回结束解3：},,{pnmsl=r：的方向向量为所求直线设即直与已知平面的法向量垂由题意，,sr)1(043=+−pnm又所求直线方程与已知直线相交，从而共面，所以0430211=−pnm)2(03410=++−pnm即联立(1)(2)解得，pnpm2819,74==}28,19,16{=∴sr故所求直线方程为28419161−==+zyx求平行于平面