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习题851设sinyexxy20求dxdy解令F(xy)sinyexxy2则Fxexy2Fycosy2xyxyyeyxyyyeFFdxdyxyx2cos2cos2222设xyyxarctanln22求dxdy解令xyyxyxFarctanln),(22则22222222)()(11221yxyxxyxyyxxyxFx22222221)(11221yxxyxxyyxyyxFyyxyxFFdxdyyx3设022xyzzyx求xz及yz解令xyzzyxzyxF22),,(则xyzyzFx1xyzxzFy2xyzxyFz1xyxyzxyzyzFFxzzxxyxyzxyzxzFFyzzy24设yzzxln求xz及yz解令yzzxzyxFln),,(则zFx1yyzyzFy1)(122211zzxyyzzxFz所以zxzFFxzzx)(2zxyzFFyzzy5设2sin(x2y3z)x2y3z证明1yzxz证明设F(xyz)2sin(x2y3z)x2y3z则Fx2cos(x2y3z)1Fy2cos(x2y3z)222FxFz2cos(x2y3z)(3)33Fx313xxzxFFFFxz3232xxzyFFFFyz于是13231zzzxFFFFyzxz6设xx(yz)yy(xz)zz(xy)都是由方程F(xyz)0所确定的具有连续偏导数的函数证明1xzzyyx解因为xyFFyxyzFFzyzxFFxz所以1)()()(zxyzxyFFFFFFxzzyyx7设(uv)具有连续偏导数证明由方程(cxazcybz)0所确定的函数zf(xy)满足cyzbxza证明因为vuuvuubacbacxzvuvvuvbacbacyz所以cbacbbacayzbxzavuvvuu8设ezxyz0求22xz解设F(xyz)ezxyz则FxyzFzezxyxyeyzFFxzzzx222)()()()(xyeyxzeyzxyexzyxzxxzzzz222)()(xyexyeyzyzexyyezyzzzz32232)(22xyeezyzxyzeyzzz9设z33xyza3求yxz2解令F(xyz)z3xyza3则xyzyzxyzyzFFxzzx22333xyzxzxyzxzFFyzzy22333)()(22xyzyzyxzyyxz222)()2())((xyzxyzzyzxyzyzyz22222)()2()()(xyzxxyzxzzyzxyzxyzxzyz322224)()2(xyzyxxyzzz10求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数(1)设203222222zyxyxz求dxdydxdz解视yy(x)zz(x)方程两边对x求导得064222dxdzzdxdyyxdxdyyxdxdz即xdxdzzdxdyyxdxdzdxdyy3222解方程组得)13(2)16(zyzxxy13zxdxdz(2)设10222zyxzyx求dzdxdzdy解视xx(z)yy(z)方程两边对z求导得022201zdzdyydzdxxdzdydzdx即zdzdyydzdxxdzdydzdx2221解方程组得yxzyzxyxxzzy(3)设),(),(2yvxugvyvuxfu其中fg具有一阶连续偏导数求xuxv解视uu(xy)vv(xy)方程两边对x求偏导得xvyvgxugxvxvfxuxufxu21212)1()(即121121)12()1(gxvgyvxugfuxvfxufx解之得1221221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv(4)设vueyvuexuucossin求xuyuxvyv解视uu(xy)vv(xy)方程两边微分得vdvuvduduedyvdvuvduduedxuusincoscossin即dyvdvuduvedxvdvuduveuusin)cos(cos)sin(从中解出dudv得dyvvevdxvvevduuu1)cos(sincos1)cos(sinsindyvveuevdxvveuevdvuuuu]1)cos(sin[sin]1)cos(sin[cos从而1)cos(sinsinvvevxuu1)cos(sincosvvevyuu]1)cos(sin[cosvveuevxvuu]1)cos(sin[sinvveuevyvuu11设yf(xt)而t是由方程F(xyt)0所确定的xy的函数其中fF都具有一阶连续偏导数试证明tFyFtfxFtftFxfdxdy证明由方程组0),,(),(tyxFtxfy可确定两个一元隐函数)()(xttxyy方程两边对x求导可得0dxdttFdxdyyFxFdxdttfxfdxdy移项得xFdxdttFdxdyyFxfdxdttfdxdy在01yFtftFtFyFtfD的条件下yFtftFxFtftFxftFxFtfxfDdxdy1