微积分(下)总复习

高等数学III（微积分下）不考内容第六章定积分及其应用1、第六节反常积分与函数不考2、第八节定积分的经济应用不考第七章向量代数与空间解析几何第四节至第七节不考第八章多元函数微分学1、第二节四小节偏导数在经济分析中的应用不考2、第三节二小节全微分在近似计算中的应用不考3、第五节二小节方程组的情形不考4、第七节最小二乘法不考第九章二重积分第二节三小节无界区域上的反常二重积分不考第十章微分方程与差分方程1、第二节四小节一阶微分方程的平衡解及其稳定性简介不考2、第三节不考3、第六节至第九节不考第十一章无穷级数1、第四节一小节函数的泰勒级数三小节函数展成泰勒级数的间接方法不考2、第五节不考高等数学III（微积分）(下）总复习第六章定积分及其应用问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式()d()()bafxxFbFa一、主要内容微元法理论依据名称释译所求量的特点解题步骤定积分应用中的常用公式2.可积的两个充分条件：当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在区间],[ba上可积.1.定积分的定义()dbafxxIiinixf)(lim10.3.定积分的性质[()()]dbafxgxx()dbafxx()dbagxx性质1()d()dbbaakfxxkfxx(k为常数)性质2()dbafxx()d()dcbacfxxfxx假设bca性质3则()d0bafxx)(ba性质5如果在区间],[ba上0)(xf，推论：则()dbafxx()dbagxx)(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）()dbafxx()dbafxx)(ba（2）1dbaxdbaxab性质4如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使()dbafxx))((abf)(ba性质7(定积分中值定理)设M及m分别是函数则()()d()bambafxxMba.)(xf在区间],[ba性质6上的最大值及最小值，积分中值公式4.牛顿—莱布尼茨公式如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数()()dxaxftt在],[ba上具有导数，且它的导数是()()d()dxadxfttfxx)(bxa定理1定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数()()dxaxftt就是)(xf在],[ba上的一个原函数.如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则);()(d)(dd)(xbxbfttfxxb()d()();axdfttfaxaxdx()()d()()()().bxaxdfttfbxbxfaxaxdx定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则()d()()bafxxFbFa()d[()].bbaafxxFx也可写成牛顿—莱布尼茨公式.],[],[:上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明baba5.定积分的计算法()d[()]()dbafxxfttt换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式d[]dbbbaaauvuvvu.)()(:)()(方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量理论依据：dxxfdxxfUbadxxfdUUba6.微元法理论依据1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[,d]xxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值．如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把()dfxx称为量U的元素且记作dU，即d()dUfxx；3）以所求量U的元素()dfxx为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得()dbaUfxx，即为所求量U．解题步骤7.定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积xyo)(xfy()dbaAfxxxyo)(1xfy)(2xfy21[()()]dbaAfxfxxAA直角坐标情形abab(2)体积dxxxyo2[()]dbaVfxx2[()]ddcVyyxyo)(yxcdxo()dbaVAxxxdxxab平行截面面积为已知的立体的体积)(xA二、典型例题例1解dcosd.dxaxtttx求1.变上限函数求导答问是常量还是变量？x.分后为变量积分过程视为常量，积dcosdcosddxxaaxtttttx原式cosdcoscosxattxxxxsinsin.xa例2解201sin2d.xx求20sincosdxxx原式4204(cossin)d(sincos)dxxxxxx.2222.定积分计算例3解ln2201d.xex求,sintex令coslnsin,dd.sintxtxtt62coscos()dsintttt原式226cosdsintttxt02ln262266dsindsintttt.23)32ln(例42221min{,}d.xxx求解1,11,},1min{22xxxxxx是偶函数,22012min{,}dxxx原式1220112d2dxxxx.2ln232例5由1.求其所围成的图形的面积.40cos,sin,0xxyxyx所围的平面图形如图所示0xy14xysinxycos2.它绕x轴旋转而成的旋转体体积解40cossindAxxx12cossin40xx1.2.4220cossindVxxx40cos2dxx22sin240x例6当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则0()d2()daaafxxfxx；②)(xf为奇函数，则()d0aafxx.1221tanln1d0xxxx奇函数计算解21212cosd.11xxxxx原式21212d11xxx121cosd11xxxx偶函数21204d11xxx22120(11)4d1(1)xxxx1204(11)dxx120441dxx.4单位圆的面积例7计算解120ln(1)d.(2)xxx120ln(1)d(2)xxx101ln(1)d2xx102)1ln(xx101dln(1)2xx32ln1011d21xxxxx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln35第七章向量代数与空间解析几何•1、空间曲线方程的概念空间曲线可以看作两个曲面的交线.设曲线Γ是曲面S1与S2的交线,因此,曲线Γ可以用上述方程组来表示。上述方程组叫做空间曲线Γ的一般方程。则点P在曲线Γ上当且仅当点P的坐标满足方程组S1F1(x,y,z)0,S2F2(x,y,z)0,而曲面的方程分别为ΓS1S2F1(x,y,z)0,F2(x,y,z)0,xozyxozyxy22抛物柱面xy平面(Cylinderofthesecondorderparabolic)2、柱面(cylinder)从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.（其他类推）实例12222czby椭圆柱面母线//轴x12222byax双曲柱面母线//轴zpzx22抛物柱面母线//轴yxozy0),(zyf),,0(111zyMM),,,(zyxM设1)1(zz（2）点M到z轴的距离||122yyxd旋转过程中的特征：如图将代入2211,yxyzz0),(11zyfd3、旋转曲面(surfacesofrevolution)将代入2211,yxyzz0),(11zyf,0,22zyxfyoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕z轴旋转一周的旋转曲面方程.得方程同理：yoz坐标面上的已知曲线0),(zyf绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为.0,22zxyf例1将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．（1）双曲线12222czax分别绕x轴和z轴；绕x轴旋转绕z轴旋转122222czyax122222czayx旋转双曲面(hyperboloid)（2）椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面（3）抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面(Ellipsoid)(Paraboloid)0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH曲线关于的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：4、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影00),(xzyR00),(yzxT面上的投影曲线,yoz面上的投影曲线,xoz00),(zyxH空间曲线在面上的投影曲线xoy例2求抛物面xzy22与平面02zyx的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为0222zyxxzy解如图,（2）消去y得投影,0042522yxxzzx（3）消去x得投影.00222xzyzy（1）消去z得投影,004522zxxyyx第八章多元函数微分学平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极限运算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性偏导数在经济上的应用多元函数的极值全微分概念偏导数概念1.区域（1）邻域),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx0P2.多元函数概念3.多元函数的极限定义设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4.极限的运算).0()()()3(;)()()2(;)()()1(,)(,)(0BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP则时，设5.多元函数的连续性定义设函数),(yxf的定义域为点集)(,0,00yxPD是D的内点或边界点且DP0，如果)()(lim00PfPfPP则称函数),(yxf在点0P处连续.如果),(yxf在点),(000yxP处不连续，则称0P是函